Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
a) sum x^nn^2
b) sum n!x^nn^n
c) sum e^n x
d) sum 2^n x^n
e) sum x^n sen 1n
f) sum(-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para, usando o critério da razão, determinar para quais valores de x cada série é convergente ou divergente; o conteúdo é o teste da razão, que exige calcular o limite L=limntoinfty|an+1an| e usar as regras de convergência.
O critério da razão diz: se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo, devendo-se examinar separadamente o caso de igualdade.

Passo 2

Para a) an=x^n/n^2:
Calcule
|an+1an|=|x|n^2(n+1)^2to|x|
Logo converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. No caso |x|=1 temos
x=1: sum1/n^2 (converge, p-série com p=2);
x=-1: sum(-1)^n/n^2 (converge absolutamente).

Passo 3

Para b) an=n!x^n/n^n:
Calcule
|an+1an|=|x|l(nn+1r)^nto|x|e^-1
Converge se |x|e^-1<1iff|x|, diverge se |x|>e. Em |x|=e, usando Stirling, ansimraiz2pi n, não tende a zero, logo diverge.

Passo 4

Para c) an=e^nx: é geométrica de razão e^x; converge se
|e^x|<1iff e^x<1iff x<0,
e diverge para x>=0.

Passo 5

Para d) an=2^n x^n=(2x)^n: geométrica com razão 2x; converge se
|2x|<1iff|x|diverge se |x|>tfrac12. Em |x|=tfrac12 o termo geral não tende a zero, então diverge.

Passo 6

Para e) an=x^nsin(1/n):
Calcule
|an+1an|=|x|sin(1/(n+1))sin(1/n)to|x|
Converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Em x=1, ansim1/n gera divergência (série harmônica); em x=-1, temos série alternante com sin(1/n) decrescente e tendendo a zero, logo converge condicionalmente.

Passo 7

Para f) an=(-1)^n x^2n/(2n)!:
Calcule
|an+1an|=x^2(2n+1)(2n+2)to0<1,portanto converge para todo x.

Resposta

a) converge para |x|≤1 e diverge para |x|>1. b) converge para |x|<e e diverge para |x|≥e. c) converge para x<0 e diverge para x≥0. d) converge para |x|<1/2 e diverge para |x|≥1/2. e) converge absolutamente para |x|<1, converge condicionalmente em x=-1, diverge para x≥1 e |x|>1. f) converge para todo x.

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