Encontre a inversa de cada matriz:
$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 4 \\\\ 6 & 3 & 1\end{array}\right]$

O enunciado pede a inversa da matriz

A

definida por

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\[6pt] 3 & 0 & 4 \\[6pt] 6 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

O conteúdo aqui é inversão de matrizes

3\times3

. Vamos usar o método da matriz adjunta, que envolve:

Calcular

\det(A)

pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace na primeira linha:

\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).

Substituindo

a_{11}=-1

a_{12}=2

a_{13}=-1

a_{21}=3

a_{22}=0

a_{23}=4

a_{31}=6

a_{32}=3

a_{33}=1

, temos

\det(A) = (-1)\bigl(0\cdot1 - 4\cdot3\bigr) - 2\bigl(3\cdot1 - 4\cdot6\bigr) + (-1)\bigl(3\cdot3 - 0\cdot6\bigr) = (-1)(-12) - 2(-21) - 1\cdot9 = 12 + 42 - 9 = 45.

Montar a matriz de cofatores

C

, cujo elemento

C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

, onde

M_{ij}

é o menor de ordem 2 obtido eliminando linha

i

e coluna

j

. O resultado é

C = \begin{pmatrix} -12 & 21 & 9 \\[4pt] -5 & 5 & 15 \\[4pt] 8 & 1 & -6 \end{pmatrix}.

]

A adjunta de

A

é a transposta de

C

\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -12 & -5 & 8 \\[4pt] 21 & 5 & 1 \\[4pt] 9 & 15 & -6 \end{pmatrix}.

Logo,

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} -12 & -5 & 8 \\[4pt] 21 & 5 & 1 \\[4pt] 9 & 15 & -6 \end{pmatrix}.

Simplificando cada entrada, obtemos

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{4}{15} & -\tfrac{1}{9} & \tfrac{8}{45} \\[6pt] \tfrac{7}{15} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{1}{45} \\[6pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{15} \end{pmatrix}.

]

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{4}{15} & -\tfrac{1}{9} & \tfrac{8}{45} \\[6pt] \tfrac{7}{15} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{1}{45} \\[6pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{15} \end{pmatrix}.

]

Encontre a inversa de cada matriz: \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 4 \\\\ 6 & 3 & 1\end{array}\right]