Encontre a inversa de cada matriz:
$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 5 \\\\ 3 & 2 & 7\end{array}\right]$

O enunciado pede a inversa da matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ -1 & 4 & 5\\\\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}

O conteúdo que vamos usar é o método da adjunta (matriz de cofatores, transposta e divisão pelo determinante).

Calculamos primeiro o determinante de

A

por Sarrus ou expansão de Laplace. Por exemplo, usando Sarrus:

\det(A) =0\cdot4\cdot7 + 1\cdot5\cdot3 + 2\cdot(-1)\cdot2 - \bigl(2\cdot4\cdot3 + 7\cdot5\cdot0 + 1\cdot(-1)\cdot7\bigr) =0 +15 -4 - (24 +0 -7) =11 -17 =-6.

Agora montamos a matriz de cofatores

C

, em que

C_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),

sendo

M_{ij}

o menor que exclui linha

i

e coluna

j

. Calculando todos, obtemos

C = \begin{pmatrix} 18 & 22 & -14 \\\\ -3 & -6 & 3 \\\\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

A adjunta de

A

é a transposta dessa matriz de cofatores:

\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 18 & -3 & -3\\\\ 22 & -6 & -2\\\\ -14 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

A inversa de

A

é dada por

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 18 & -3 & -3\\\\ 22 & -6 & -2\\\\ -14 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{11}{3} & 1 & \tfrac{1}{3}\\[6pt] \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6} \end{pmatrix}.

]

A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\\\ -\tfrac{11}{3} & 1 & \tfrac{1}{3}\\\ \tfrac{7}{3} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6} \end{pmatrix}.

Encontre a inversa de cada matriz: \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 4 & 5 \\\\ 3 & 2 & 7\end{array}\right]