Encontre a inversa de cada matriz:
$\left[\begin{array}{cc}4 & -8 \\\\ -2 & 2\end{array}\right]$

O enunciado pede a inversa de uma matriz

2\times2

. O conteúdo envolve a fórmula para a inversa de

A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},

que existe se

\det(A)\neq0

, sendo

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Identificamos

A = \begin{pmatrix}4 & -8 \\[6pt] -2 & 2\end{pmatrix}.

Calculamos o determinante:

\det(A) = (4)(2) - (-8)(-2) = 8 - 16 = -8.

Como

\det(A) = -8 \neq 0

, a inversa existe.]

Aplicamos a fórmula

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} = \frac{1}{-8}\begin{pmatrix}2 & -(-8) \\\\ -(-2) & 4\end{pmatrix} = \frac{1}{-8}\begin{pmatrix}2 & 8 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Distribuindo

1/(-8)

e simplificando cada entrada, obtemos

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/(-8) & 8/(-8) \\[4pt] 2/(-8) & 4/(-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & -1 \\[4pt] -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

]

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & -1 \\[4pt] -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

]

Encontre a inversa de cada matriz: \left[\begin{array}{cc}4 & -8 \\\\ -2 & 2\end{array}\right]