Encontre a inversa da transformada de Laplace das seguintes funções.
y(s)=s-1s(s+1)(s+2)

Passo 1

Beleza, o exercício pede a inversa da Transformada de Laplace de
Y(s)=s-1s(s+1)(s+2)
Isso é conteúdo de transformada de Laplace e envolve decompor a função em frações parciais e depois usar a tabela de transformadas inversas básicas como
e .

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais:
s-1s(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2
A ideia é achar . A gente multiplica os dois lados por para tirar os denominadores.

Passo 3

Multiplicando dá:
s-1 = A,(s+1)(s+2) + B,s(s+2) + C,s(s+1)
Expandindo e juntando termos em A + B + C = 0, 3A + 2B + C = 1, 2A = -1 e constante, obtemos o sistema
-tfrac12 + B + C = 0 ;Rightarrow; B+C=tfrac12, 3(-tfrac12)+2B+C=1 ;Rightarrow; -tfrac32+2B+C=1;Rightarrow;2B+C=tfrac52
Da terceira equação: .
Substituindo nas outras:
Subtraindo essas duas últimas equações: . Logo .

Passo 4

Reescrevendo a função com os coeficientes:
Y(s)=-tfrac121s+21s+1-tfrac321s+2
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1Y(s) =-tfrac12cdot1 +2,e^-t-tfrac32,e^-2t

Resposta

y(t)=-12 +2e^-t-32e^-2t

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