Para o sistema descrito pelas seguintes equações:
ll dxdt+x+y=e^-3 t & x(0)=1 dydt+y+4 x=0 & y(0)=0
(a) Encontre a X(s).
(b) Determine o valor final de x(t) quando t infty.
© Encontre ay(t).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho. A questão é um sistema de duas equações diferenciais de 1ª ordem com condições iniciais:
dot x + x + y = e^-3t, x(0)=1, dot y + y +4x = 0, y(0)=0
Conteúdo principal: transformada de Laplace para converter as EDs em equações algébricas em s, depois resolver por frações parciais e inverter a Laplace. Também vamos usar o teorema do valor final para achar limttoinftyx(t).

Passo 2

Aplicando Laplace em cada equação (e lembrando que ), ficamos com
  1. Laplacedot x=sX(s)-x(0)
  2. sX(s)-1 + X(s) + Y(s) ;=; 1s+3,
    Reescrevendo:
    sY(s)+0 + Y(s) + 4X(s) ;=;0
l(s+1r)X(s) + Y(s) = 1s+3+1,

Passo 3

Da segunda equação isolamos Y(s)=-4s+1X(s) e mandamos na primeira:
(s+1)X(s)-4s+1X(s)=1+1s+3
Multiplicando tudo por (s+1) e simplificando, dá
l[(s+1)^2-4r]X(s)=(s+1)l(1+1s+3r)
mas (s+1)^2-4=(s-1)(s+3), e no lado direito (s+1)l(s+4s+3r). Portanto
boxedX(s)=(s+1)(s+4)(s-1)(s+3)^2

Passo 4

Queremos o valor final de x(t) quando ttoinfty. O teorema do valor final diz
limttoinftyx(t)=limsto0s,X(s),
mas isso só vale se todos os polos de X(s) tiverem parte real negativa. Aqui tem polo em s=1>0, então o sistema é instável e x(t)to+infty,
Se a gente quiser ver na prática, faria frações parciais em X(s) e inverteria a Laplace:
X(s)=5/8s-1+3/8s+3+1/2(s+3)^2
que leva a
x(t)=58,e^t+38,e^-3t+12,t,e^-3t,
e o termo e^t faz tudo explodir.

Passo 5

Para encontrar y(t), usamos Y(s)=-tfrac4s+1X(s):
Y(s)=-4;(s+4)(s-1)(s+3)^2,
Fazendo frações parciais:
Y(s)=-5/4s-1+5/4s+3+1(s+3)^2,
e invertendo a Laplace:
boxedy(t)=-54,e^t+54,e^-3t+t,e^-3t

Resposta

(a) X(s)=(s+1)(s+4)(s-1)(s+3)^2
(b) Como há polo em s=1>0, x(t)to+infty quando ttoinfty (não converge).
© y(t)=-54,e^t+54,e^-3t+t,e^-3t, .

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