Para o sistema descrito pelas seguintes equações:
(a) Encontre a X(s).
(b) Determine o valor final de
quando
.
© Encontre ay(t).
(b) Determine o valor final de
© Encontre ay(t).
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho. A questão é um sistema de duas equações diferenciais de 1ª ordem com condições iniciais:
Conteúdo principal: transformada de Laplace para converter as EDs em equações algébricas em
, depois resolver por frações parciais e inverter a Laplace. Também vamos usar o teorema do valor final para achar
.
Passo 2
Aplicando Laplace em cada equação (e lembrando que ), ficamos com
-
-
Reescrevendo:
Passo 3
Da segunda equação isolamos
e mandamos na primeira:
Multiplicando tudo por
mas
, e no lado direito
. Portanto
Passo 4
Queremos o valor final de
quando
. O teorema do valor final diz
mas isso só vale se todos os polos de
tiverem parte real negativa. Aqui tem polo em
, então o sistema é instável e
Se a gente quiser ver na prática, faria frações parciais em e inverteria a Laplace:
Se a gente quiser ver na prática, faria frações parciais em
que leva a
e o termo
Passo 5
Para encontrar
, usamos
:
Fazendo frações parciais:
e invertendo a Laplace:
Resposta
(a)
(b) Como há polo em ,
quando
(não converge).
© .
(b) Como há polo em
©