Encontre a inversa da transformada de Laplace das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra achar a transformada inversa de Laplace de
Isso cai na matéria de transformada de Laplace, mais especificamente em “como inverter uma função no domínio de
de volta pro tempo
”. Para fazer isso direitinho vamos usar duas ferramentas principais:
- A propriedade de linearidade da transformada de Laplace (ou seja, a gente pode quebrar soma em somas de transformadas).
- A técnica de decomposição em frações parciais, que serve pra separar essa fração mais complicada em pedaços fáceis de inverter usando a tabela básica:
Passo 2
Primeiro a gente decompõe
em algo do tipo
Esse truque chama decomposição em frações parciais: a ideia é escrever uma fração racional como soma de frações mais simples, cada uma com denominador linear.
Passo 3
Agora a gente iguala:
Desenvolvendo o lado direito:
Como isso tem que ser igual a
, comparamos coeficientes de
e termos constantes:
Resolvendo rapidinho: da primeira equação
. Substituindo na segunda:
e daí
.
Passo 4
Com
e
, a nossa função vira
Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo usando a tabela básica:
Como tem constantes multiplicando, fica: