Encontre a inversa da transformada de Laplace das seguintes funções.
y(s)=s+1(s+2)(s+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra achar a transformada inversa de Laplace de
y(s)=s+1(s+2)(s+3)
Isso cai na matéria de transformada de Laplace, mais especificamente em “como inverter uma função no domínio de L^-1l1s+ar = e^-a t de volta pro tempo ”. Para fazer isso direitinho vamos usar duas ferramentas principais:
  1. A propriedade de linearidade da transformada de Laplace (ou seja, a gente pode quebrar soma em somas de transformadas).
  2. A técnica de decomposição em frações parciais, que serve pra separar essa fração mais complicada em pedaços fáceis de inverter usando a tabela básica:

Passo 2

Primeiro a gente decompõe
s+1(s+2)(s+3)
em algo do tipo
As+2 + Bs+3
Esse truque chama decomposição em frações parciais: a ideia é escrever uma fração racional como soma de frações mais simples, cada uma com denominador linear.

Passo 3

Agora a gente iguala:
s+1(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3 ;Longrightarrow; s+1 = A,(s+3) + B,(s+2)
Desenvolvendo o lado direito:
A(s+3)+B(s+2) = (A+B),s + (3A + 2B)
Como isso tem que ser igual a A + B = 1, 3A + 2B = 1 , comparamos coeficientes de 3A + 2(1 - A) = 1 ;Longrightarrow; 3A + 2 - 2A = 1 ;Longrightarrow; A = -1, e termos constantes:
Resolvendo rapidinho: da primeira equação . Substituindo na segunda:
e daí .

Passo 4

Com y(s) = -1s+2 + 2s+3 e L^-1l1s+2r = e^-2t, L^-1l1s+3r = e^-3t , a nossa função vira
L^-1y(s) = -,e^-2t ;+; 2,e^-3t
Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo usando a tabela básica:
Como tem constantes multiplicando, fica:

Resposta

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