Encontre a solução para a seguinte equação diferencial:
& x^prime prime+x^prime+x=sen t & x(0)=x^prime(0)=0
Use o teorema do valor final para determinar x(t) quando t infty de X(s). O que se pode dizer sobre este resultado?

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? Ela quer que a gente resolva a EDO

usando transformada de Laplace e, depois, aplique o Teorema do Valor Final pra ver o que acontece com x''+x'+x=sen t, x(0)=0,;x'(0)=0 quando . O conteúdo é transformada de Laplace (incluindo a parte de valor final) e inversão via frações parciais.

Passo 2

Vamos ao básico da Laplace. Se s^2X(s)+sX(s)+X(s)=1s^2+1 Longrightarrow X(s),(s^2+s+1)=1s^2+1 , temos
boxedX(s)=1(s^2+1)(s^2+s+1) (pois as condições iniciais são zero),
,
.
E .
Então aplicando Laplace na equação:

Passo 3

Agora a gente separa em frações parciais:
1(s^2+1)(s^2+s+1) =As+Bs^2+1+Cs+Ds^2+s+1
Multiplicando tudo e igualando coeficientes, chega-se a
A=-1, B=0, C=1, D=1
Logo
X(s)=-ss^2+1+s+1s^2+s+1

Passo 4

Invertendo cada termo (lembrando que para boxedx(t)=-cos t ;+;e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3,sin!l(tfracraiz32tr)r] ):
  1. ;
  2. .
    • O primeiro pedaço vira .
    • O segundo vira .
Juntando tudo:

Passo 5

Bora ao Teorema do Valor Final, que diz
limttoinftyx(t) =limsto0s,X(s),
desde que todos os polos de s,X(s)=s(s^2+1)(s^2+s+1), tenham parte real negativa. Aqui,
limsto0s,X(s)=0
e ao levar

Resposta

O Teorema do Valor Final sugere que x(t)=-cos t+e^-t/2l[cos!l(tfracraiz32tr) +tfrac1raiz3sin!l(tfracraiz32tr)r], .
Porém, olhando a solução exata
vê-se que, conforme , o termo exponencial some e sobra : ou seja, a solução oscila entre e e não converge a 0.
Conclusão: o Teorema do Valor Final não se aplica aqui porque há polos puros imaginários (frequência 1) que impedem a convergência.

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