Encontre a solução para a seguinte equação diferencial:
Use o teorema do valor final para determinar
quando
de
. O que se pode dizer sobre este resultado?
Passo 1
Então, o que a questão tá pedindo? Ela quer que a gente resolva a EDO
usando transformada de Laplace e, depois, aplique o Teorema do Valor Final pra ver o que acontece com
Passo 2
Vamos ao básico da Laplace. Se
, temos
(pois as condições iniciais são zero),
,
.
E .
E .
Então aplicando Laplace na equação:
Passo 3
Agora a gente separa em frações parciais:
Multiplicando tudo e igualando coeficientes, chega-se a
Logo
Passo 4
Invertendo cada termo (lembrando que para
):
-
; -
. - O primeiro pedaço vira
. - O segundo vira
.
- O primeiro pedaço vira
Juntando tudo:
Passo 5
Bora ao Teorema do Valor Final, que diz
desde que todos os polos de
tenham parte real negativa. Aqui,
e ao levar
dá
Resposta
O Teorema do Valor Final sugere que
.
Porém, olhando a solução exata
Porém, olhando a solução exata
vê-se que, conforme
, o termo exponencial some e sobra
: ou seja, a solução oscila entre
e
e não converge a 0.
Conclusão: o Teorema do Valor Final não se aplica aqui porque há polos puros imaginários (frequência 1) que impedem a convergência.
Conclusão: o Teorema do Valor Final não se aplica aqui porque há polos puros imaginários (frequência 1) que impedem a convergência.