Encontre as inversas das matrizes dadas, se possível.
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
Este é um problema de cálculo de inversa de matriz 3\times3. Vamos usar o método da adjunta, que envolve:
  1. calcular o determinante de A,
  2. formar a matriz de cofatores,
  3. transpor essa matriz (obter a adjunta) e
  4. dividir pela determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&3\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Computando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix}=1\cdot3-2\cdot0=3, \quad \det\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&3\end{pmatrix}=0\cdot3-2\cdot1=-2, \quad \det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
Logo,
\det(A)=2\cdot3 -1\cdot(-2) +3\cdot(-1) =6+2-3=5.
Como \det(A)=5\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Formar a matriz de cofatores C = (C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
e M_{ij} é o menor que se obtém eliminando linha i e coluna j. Calculando todos os C_{ij}:
C_{11}=+\det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix}=+3,
C_{12}=-\det\!\begin{pmatrix}0&2\\\ 1&3\end{pmatrix}=+2,
C_{13}=+\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}=-1,
C_{21}=-\det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ 0&3\end{pmatrix}=-3,
C_{22}=+\det\!\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&3\end{pmatrix}=+3,
C_{23}=-\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix}=+1,
C_{31}=+\det\!\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&2\end{pmatrix}=-1,
C_{32}=-\det\!\begin{pmatrix}2&3\\\ 0&2\end{pmatrix}=-4,
C_{33}=+\det\!\begin{pmatrix}2&1\\\ 0&1\end{pmatrix}=+2.
Assim,
C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ -3 & 3 & 1\\\\ -1 & -4 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^T =\begin{pmatrix} 3 & -3 & -1\\\\ 2 & 3 & -4\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -1\\\\ 2 & 3 & -4\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -3 & -1\\\\ 2 & 3 & -4\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

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