Encontre as inversas das matrizes dadas, se possível.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 4 & 2 & 1 & -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3\\\\ 4 & 1 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 1\\\\ 4 & 2 & 1 & -5 \end{pmatrix}
O método que vamos usar é o de Gauss–Jordan: montamos \bigl[A\mid I_4\bigr] e aplicamos operações elementares para tentar chegar em \bigl[I_4\mid A^{-1}\bigr]. Se surgir uma linha nula à esquerda com parte não nula à direita, isso mostra que \det(A)=0 e não existe inversa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos as operações de eliminação. Depois de fazer pivôs em cada coluna (primeiro em \,a_{11}=1, depois em \,a_{22}, depois em \,a_{33}), chegamos a uma linha inteira zero na parte de A (colunas da esquerda), enquanto a parte direita (que era I_4) se transforma numa linha não-nula. Em notação resumida, chegamos a:
\begin{pmatrix} \ast & \ast & \ast & \ast &\mid& \ast & \ast & \ast & \ast\\\ \ast & \ast & \ast & \ast &\mid& \ast & \ast & \ast & \ast\\\ \ast & \ast & \ast & \ast &\mid& \ast & \ast & \ast & \ast\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\mid& 2 & -1& -1& 1 \end{pmatrix}.
Como na última linha temos \,0=2 se tentássemos continuar a redução, isso mostra que a eliminação é impossível e que A é singular.

Passo 3

A aparição de uma linha nula à esquerda com parte direita não nula prova que \det(A)=0 e, portanto, A não é invertível.

Resposta

A matriz não tem inversa, pois \det(A)=0.

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