Encontre k tal que os vetores u=(1,2, k, 3) e v=(3, k, 7,-5) em \mathbb{R}^{4} sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^{4} e pede um valor de k:
  • Vetor u = (1,2,k,3).
  • Vetor v = (3,k,7,-5).
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de k tal que u e v sejam ortogonais.

Passo 2

O que significa “ser ortogonais” em \mathbb{R}^{4}? Significa que o produto escalar (também chamado de produto interno ou dot product) entre u e v é zero.
Definição do produto escalar em \mathbb{R}^{4}: se u=(u_1,u_2,u_3,u_4) e v=(v_1,v_2,v_3,v_4), então
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 + u_4v_4.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores; o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Para afirmar que u e v são ortogonais devemos impor
u\cdot v = 0.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao nossos vetores. Identificando componentes:
  • u_1=1,\; u_2=2,\; u_3=k,\; u_4=3.
  • v_1=3,\; v_2=k,\; v_3=7,\; v_4=-5.
Calculando termo a termo:
u\cdot v = 1\cdot 3 + 2\cdot k + k\cdot 7 + 3\cdot(-5).

Passo 4

Simplificando a soma dos produtos:
u\cdot v = 3 + 2k + 7k -15.
Agrupando termos semelhantes:
u\cdot v = (2k+7k) + (3-15) = 9k - 12.

Passo 5

Impondo a condição de ortogonalidade u\cdot v=0, obtemos a equação
9k - 12 = 0.
Resolvendo para k:
9k = 12 \quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}.

Passo 6

Verificação rápida: substituir k=\dfrac{4}{3} em u\cdot v = 9k-12:
9\cdot \dfrac{4}{3} - 12 = 3\cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0,
portanto a escolha k=\dfrac{4}{3} torna os vetores ortogonais, confirmado.

Passo 7

Observações didáticas e intuição:
  • A condição de ortogonalidade deu uma única equação linear em k, por isso apareceu exatamente um valor de k.
  • Geometricamente, em \mathbb{R}^{4} “ortogonal” tem a mesma ideia de ângulo de 90^\circ entre vetores; algebraicamente é o produto escalar zero.
  • Exemplo curto para fixar: se a=(1,0) e b=(0,1) em \mathbb{R}^2, então a\cdot b=1\cdot0+0\cdot1=0, logo são ortogonais.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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