Encontre
tal que os vetores
e
em
sejam ortogonais.
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
e pede um valor de
:
- Vetor
. - Vetor
.
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de
tal que
e
sejam ortogonais.
Passo 2
O que significa “ser ortogonais” em
? Significa que o produto escalar (também chamado de produto interno ou dot product) entre
e
é zero.
Definição do produto escalar em
: se
e
, então
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores; o produto escalar soma os produtos das componentes correspondentes.
Para afirmar que
e
são ortogonais devemos impor
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao nossos vetores. Identificando componentes:
-
. -
.
Calculando termo a termo:
Passo 4
Simplificando a soma dos produtos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Impondo a condição de ortogonalidade
, obtemos a equação
Resolvendo para
:
Passo 6
Verificação rápida: substituir
em
:
portanto a escolha
torna os vetores ortogonais, confirmado.
Passo 7
Observações didáticas e intuição:
- A condição de ortogonalidade deu uma única equação linear em
, por isso apareceu exatamente um valor de . - Geometricamente, em
“ortogonal” tem a mesma ideia de ângulo de entre vetores; algebraicamente é o produto escalar zero. - Exemplo curto para fixar: se
e em , então , logo são ortogonais.