Seja V o subespaço gerado por v_{1}=(1,0,2,0), v_{2}=(2,1,0,0) e v_{3}=(0,2,1,0) vetores do \mathbb{R}^{4}. Determine uma base ortonormal, utilizando o processo de ortogonalização de Gram- Schimidt, para o subespaço V.
Passo 1
O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^{4} que geram o subespaço V:
A pergunta é: determinar uma base ortonormal de V usando o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt.
Informações relevantes: os vetores estão em \mathbb{R}^{4} (produto interno usual) e todos têm a quarta coordenada igual a 0. A base ortonormal pedida deve consistir em vetores unitários e mutuamente ortogonais que gerem V.
Passo 2
O que é o processo de Gram–Schmidt e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
No espaço \mathbb{R}^{4} usamos o produto interno usual entre x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}):
Calcule componente a componente (vou colocar tudo com denominador 35 para não perder etapas):
primeira componente: 0-\frac{2}{5}-\frac{16}{35}=0-\frac{14}{35}-\frac{16}{35}=-\frac{30}{35}=-\frac{6}{7}.
segunda componente: 2-0-\frac{2}{7}=2-\frac{2}{7}=\frac{14}{7}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}.
terceira componente: 1-\frac{4}{5}-\left(-\frac{8}{35}\right)=1-\frac{4}{5}+\frac{8}{35}= \frac{7}{7}-\frac{28}{35}+\frac{8}{35}=\frac{7}{7}-\frac{20}{35}=\frac{1}{5}+\frac{8}{35}=\frac{3}{7}. (Aqui mostrei a mesma conta reorganizada; o resultado é \frac{3}{7}.)