Seja V o subespaço gerado por v_{1}=(1,0,2,0), v_{2}=(2,1,0,0) e v_{3}=(0,2,1,0) vetores do \mathbb{R}^{4}. Determine uma base ortonormal, utilizando o processo de ortogonalização de Gram- Schimidt, para o subespaço V.

Passo 1

O enunciado dá três vetores de \mathbb{R}^{4} que geram o subespaço V:
v_{1}=(1,0,2,0),\qquad v_{2}=(2,1,0,0),\qquad v_{3}=(0,2,1,0).
A pergunta é: determinar uma base ortonormal de V usando o processo de ortogonalização de Gram–Schmidt.
Informações relevantes: os vetores estão em \mathbb{R}^{4} (produto interno usual) e todos têm a quarta coordenada igual a 0. A base ortonormal pedida deve consistir em vetores unitários e mutuamente ortogonais que gerem V.

Passo 2

O que é o processo de Gram–Schmidt e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • No espaço \mathbb{R}^{4} usamos o produto interno usual entre x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}):
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}.
  • A norma associada é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Gram–Schmidt transforma vetores linearmente independentes v_{1},v_{2},\dots em vetores ortogonais u_{1},u_{2},\dots pela fórmula:
u_{1}=v_{1},\qquad u_{k}=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{u_{j}}(v_{k}),
onde a projeção de v em u é
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Depois obtemos vetores ortonormais e_{k} dividindo u_{k} por sua norma:
e_{k}=\frac{u_{k}}{\|u_{k}\|}.
Vou aplicar isso passo a passo aos v_{1},v_{2},v_{3}, mostrando todos os cálculos.

Passo 3

Primeiro vetor ortogonal u_{1} e normalização para e_{1}.
Tomamos
u_{1}=v_{1}=(1,0,2,0).
Calcular a norma:
\|u_{1}\|^{2}=\langle u_{1},u_{1}\rangle=1^{2}+0^{2}+2^{2}+0^{2}=1+4=5,
portanto \|u_{1}\|=\sqrt{5}. O primeiro vetor da base ortonormal é
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2,0).

Passo 4

Construção do segundo vetor ortogonal u_{2} e normalização.
Aplicamos a projeção de v_{2} sobre u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle=(2,1,0,0)\cdot(1,0,2,0)=2\cdot1+1\cdot0+0\cdot2+0\cdot0=2.
Como \langle u_{1},u_{1}\rangle=5, temos
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1}=\frac{2}{5}(1,0,2,0)=\left(\frac{2}{5},0,\frac{4}{5},0\right).
Logo
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=(2,1,0,0)-\left(\frac{2}{5},0,\frac{4}{5},0\right)=\left(\frac{8}{5},1,-\frac{4}{5},0\right).
Para simplificar, observe que u_{2}=\frac{1}{5}(8,5,-4,0). Calcule a norma ao quadrado:
\|u_{2}\|^{2}=\left(\frac{8}{5}\right)^{2}+1^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2} =\frac{64}{25}+1+\frac{16}{25}=\frac{64+25+16}{25}=\frac{105}{25}=\frac{21}{5}.
Portanto
\|u_{2}\|=\sqrt{\frac{21}{5}}=\frac{\sqrt{105}}{5}.
Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{\frac{1}{5}(8,5,-4,0)}{\frac{\sqrt{105}}{5}}=\frac{1}{\sqrt{105}}(8,5,-4,0).
(Escolhi escrever e_{2} na forma \dfrac{1}{\sqrt{105}}(8,5,-4,0) porque é mais simples e sem frações internas.)

Passo 5

Construção do terceiro vetor ortogonal u_{3} e normalização.
Aplicamos as projeções de v_{3} sobre u_{1} e sobre u_{2}.
Primeiro, projecção sobre u_{1}:
\langle v_{3},u_{1}\rangle=(0,2,1,0)\cdot(1,0,2,0)=0\cdot1+2\cdot0+1\cdot2+0\cdot0=2,
então
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})=\frac{2}{5}(1,0,2,0)=\left(\frac{2}{5},0,\frac{4}{5},0\right).
Agora a projeção sobre u_{2}. Usamos u_{2}=\frac{1}{5}(8,5,-4,0). Calcule o produto interno \langle v_{3},u_{2}\rangle:
\langle v_{3},u_{2}\rangle=(0,2,1,0)\cdot\left(\frac{8}{5},1,-\frac{4}{5},0\right) =0\cdot\frac{8}{5}+2\cdot1+1\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=2-\frac{4}{5}=\frac{6}{5}.
E já sabemos \langle u_{2},u_{2}\rangle=\frac{21}{5}. Assim
\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2} =\frac{\frac{6}{5}}{\frac{21}{5}}u_{2}=\frac{6}{21}u_{2}=\frac{2}{7}u_{2}.
Como u_{2}=\frac{1}{5}(8,5,-4,0), isto dá
\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{5}(8,5,-4,0)=\left(\frac{16}{35},\frac{2}{7},-\frac{8}{35},0\right).
Agora subtraímos as duas projeções de v_{3}:
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
Calcule componente a componente (vou colocar tudo com denominador 35 para não perder etapas):
  • primeira componente: 0-\frac{2}{5}-\frac{16}{35}=0-\frac{14}{35}-\frac{16}{35}=-\frac{30}{35}=-\frac{6}{7}.
  • segunda componente: 2-0-\frac{2}{7}=2-\frac{2}{7}=\frac{14}{7}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}.
  • terceira componente: 1-\frac{4}{5}-\left(-\frac{8}{35}\right)=1-\frac{4}{5}+\frac{8}{35}= \frac{7}{7}-\frac{28}{35}+\frac{8}{35}=\frac{7}{7}-\frac{20}{35}=\frac{1}{5}+\frac{8}{35}=\frac{3}{7}. (Aqui mostrei a mesma conta reorganizada; o resultado é \frac{3}{7}.)
  • quarta componente: 0-0-0=0.
Portanto
u_{3}=\left(-\frac{6}{7},\frac{12}{7},\frac{3}{7},0\right)=\frac{3}{7}(-2,4,1,0).
Agora a norma de u_{3}: como u_{3}=\frac{3}{7}w com w=(-2,4,1,0) e \|w\|^{2}=(-2)^{2}+4^{2}+1^{2}=4+16+1=21, temos
\|u_{3}\|=\frac{3}{7}\sqrt{21}=\frac{3\sqrt{21}}{7}.
Normalizando:
e_{3}=\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|}=\frac{\frac{3}{7}(-2,4,1,0)}{\frac{3\sqrt{21}}{7}}=\frac{1}{\sqrt{21}}(-2,4,1,0).

Passo 6

Verificação rápida (confirmação de ortonormalidade).
  • Normas:
\|e_{1}\|=\left\|\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2,0)\right\|=1,\qquad \|e_{2}\|=\left\|\frac{1}{\sqrt{105}}(8,5,-4,0)\right\|=1,\qquad \|e_{3}\|=\left\|\frac{1}{\sqrt{21}}(-2,4,1,0)\right\|=1.
  • Ortogonalidade (exemplo do cálculo de produto interno):
\langle e_{1},e_{2}\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{105}}\big(1\cdot8+0\cdot5+2\cdot(-4)+0\big)=\frac{8-8}{\sqrt{525}}=0,
\langle e_{1},e_{3}\rangle=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{21}}\big(1\cdot(-2)+0\cdot4+2\cdot1\big)=\frac{-2+2}{\sqrt{105}}=0,
\langle e_{2},e_{3}\rangle=\frac{1}{\sqrt{105}\sqrt{21}}\big(8\cdot(-2)+5\cdot4+(-4)\cdot1\big)=\frac{-16+20-4}{\sqrt{2205}}=0.
Portanto os três vetores são mutuamente ortogonais e de norma 1, logo formam uma base ortonormal de V.

Resposta

\displaystyle e_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,2,0)
\displaystyle e_{2}=\frac{1}{\sqrt{105}}(8,5,-4,0)
\displaystyle e_{3}=\frac{1}{\sqrt{21}}(-2,4,1,0)

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