Exercício 5 (Propriedade da Tangente e Hipérbole Equilátera).
Hipérbole Equilátera: Uma hipérbole é equilátera se suas assíntotas são perpendiculares. Mostre que, para a hipérbole
, a condição para ser equilátera é
.
Hipérbole Equilátera: Uma hipérbole é equilátera se suas assíntotas são perpendiculares. Mostre que, para a hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole centrada na origem
e pede: determinar a condição sobre
e
para que a hipérbole seja equilátera, isto é, suas assíntotas sejam perpendiculares.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação explícita da hipérbole é
. - Queremos a condição para as assíntotas serem perpendiculares.
- Assume‑se
e (parâmetros geométricos positivos).
Passo 2
Entendendo o que são as assíntotas e como achá‑las para esta hipérbole (aulas rápidas): uma assíntota é uma reta que a curva se aproxima quando
ou
. Para hipérboles centradas na origem, costuma‑se obter as assíntotas deixando de lado os termos de menor ordem quando
é grande. Aqui fazemos isso de modo algébrico dividindo a equação por
(valendo para
):
Reescrevendo para isolar
:
Quando
, o termo
tende a
, logo
Portanto os quocientes
tendem a
, ou seja as assíntotas são as retas (passando pela origem)
Passo 3
Agora vamos ao critério de perpendicularidade de retas: duas retas não verticais dadas por
e
são perpendiculares se, e somente se, os coeficientes angulares (declividades) satisfazem
Pequena justificativa intuitiva: o declive
é
onde
é o ângulo que a reta faz com o eixo
. Retas perpendiculares têm ângulos que diferem em
, e
, o que dá
e assim
.
Passo 4
Aplicando isso às assíntotas que encontramos: os declives são
O produto é
Para que as assíntotas sejam perpendiculares é necessário ter
. Igualando:
Isto implica
Passo 5
Como
e
(parâmetros positivos), a igualdade
força
. Então a condição para as assíntotas serem perpendiculares (hipérbole equilátera) é
. Força, você já chegou!