Exercício 5 (Propriedade da Tangente e Hipérbole Equilátera).
Hipérbole Equilátera: Uma hipérbole é equilátera se suas assíntotas são perpendiculares. Mostre que, para a hipérbole \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a condição para ser equilátera é a=b.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole centrada na origem
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
e pede: determinar a condição sobre a e b para que a hipérbole seja equilátera, isto é, suas assíntotas sejam perpendiculares.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação explícita da hipérbole é \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Queremos a condição para as assíntotas serem perpendiculares.
  • Assume‑se a>0 e b>0 (parâmetros geométricos positivos).

Passo 2

Entendendo o que são as assíntotas e como achá‑las para esta hipérbole (aulas rápidas): uma assíntota é uma reta que a curva se aproxima quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty. Para hipérboles centradas na origem, costuma‑se obter as assíntotas deixando de lado os termos de menor ordem quando x é grande. Aqui fazemos isso de modo algébrico dividindo a equação por x^{2} (valendo para x\neq0):
\frac{1}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}.
Reescrevendo para isolar \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}:
\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{x^{2}}.
Quando x\to\pm\infty, o termo \dfrac{b^{2}}{x^{2}} tende a 0, logo
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}.
Portanto os quocientes \dfrac{y}{x} tendem a \pm\dfrac{b}{a}, ou seja as assíntotas são as retas (passando pela origem)
y=\frac{b}{a}x\qquad\text{e}\qquad y=-\frac{b}{a}x.

Passo 3

Agora vamos ao critério de perpendicularidade de retas: duas retas não verticais dadas por y=m_{1}x+c_{1} e y=m_{2}x+c_{2} são perpendiculares se, e somente se, os coeficientes angulares (declividades) satisfazem
m_{1}\,m_{2}=-1.
Pequena justificativa intuitiva: o declive m é \tan\theta onde \theta é o ângulo que a reta faz com o eixo x. Retas perpendiculares têm ângulos que diferem em \tfrac{\pi}{2}, e \tan(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\tfrac{1}{\tan\theta}, o que dá m_{2}=-1/m_{1} e assim m_{1}m_{2}=-1.

Passo 4

Aplicando isso às assíntotas que encontramos: os declives são
m_{1}=\frac{b}{a},\qquad m_{2}=-\frac{b}{a}.
O produto é
m_{1}m_{2}=\frac{b}{a}\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)=-\frac{b^{2}}{a^{2}}.
Para que as assíntotas sejam perpendiculares é necessário ter m_{1}m_{2}=-1. Igualando:
-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{a^{2}}=1.
Isto implica
a^{2}=b^{2}.

Passo 5

Como a>0 e b>0 (parâmetros positivos), a igualdade a^{2}=b^{2} força a=b. Então a condição para as assíntotas serem perpendiculares (hipérbole equilátera) é a=b. Força, você já chegou!

Resposta

a=b

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