Encontre a lei de transformação do símbolo de Christoffel
por mudanças de coordenadas
.
Passo 1
O enunciado pede: achar a lei de transformação do símbolo de Christoffel
quando se faz uma mudança de coordenadas
.
Informações e o que vamos usar (tudo retirado do enunciado e do conceito de conexão):
- Em uma carta com coordenadas
há símbolos de Christoffel . - Após a mudança de coordenadas temos novas componentes
na carta . - Vou usar as seguintes transformações básicas (que vêm da definição de coordenadas e da regra da cadeia):
- componentes de um vetor transformam como
- derivadas parciais mudam segundo
- componentes de um vetor transformam como
- A propriedade fundamental que eu vou usar para obter a transformação é: a derivada covariante de um campo de vetores é um tensor do tipo
. Em fórmulas, - Notação: índices primados
referem-se às componentes na carta ; índices sem primar referem-se à carta . Índice repetido implica soma (convenção de Einstein).
Passo 2
Lembrando a definição de derivada covariante em uma base coordenada: para um campo de vetores
,
Na carta primada a definição análoga é
A ideia é escrever o lado primado em termos de quantidades sem primar (usando transformação de
e das derivadas), comparar com o lado transformado do lado sem primar e isolar
.
Passo 3
Compute a derivada parcial do vetor transformado usando a regra da cadeia. Começo com
Aplicando
e a regra do produto,
Passo 4
Agora escrevo a derivada covariante primada usando a definição:
Substituo a expressão obtida para
e uso
:
Passo 5
Pela propriedade tensorial da derivada covariante temos também
Comparo esta expressão com a do passo anterior. Observe que os termos contendo
aparecem dos dois lados com o mesmo fator
, logo esses termos se cancelam quando subtraio uma expressão da outra. O que sobra é a relação (após igualar e rearranjar os termos que multiplicam
):
(escrevi
para indicar que o índice livre
aparece na posição apropriada).
Passo 6
Para isolar
multiplico por
(a matriz
é a inversa da matriz
):
Passo 7
A segunda parcela pode ser reescrita de forma mais direta em termos de derivadas segundas da função inversa
. Note que
logo
onde, no último passo, usamos a regra da cadeia adequada para reconhecer a derivada mista em relação às coordenadas
. Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos a forma padrão e compacta:
Passo 8
Breve interpretação didática (para fixar): a primeira parcela transforma
«como se fosse um tensor» com o jacobiano e as inversas; a segunda parcela, envolvendo derivadas segundas da transformação de coordenadas, é um termo inhomogêneo que impede que
seja um tensor. Essa é a razão pela qual o símbolo de Christoffel não é tensor — ele depende da escolha de coordenadas por meio do termo das derivadas segundas.