Encontre a lei de transformação do símbolo de Christoffel \Gamma_{k j}^{i}(x) por mudanças de coordenadas x \mapsto x^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado pede: achar a lei de transformação do símbolo de Christoffel \Gamma^{i}_{\;jk}(x) quando se faz uma mudança de coordenadas x \mapsto x'(x).
Informações e o que vamos usar (tudo retirado do enunciado e do conceito de conexão):
  • Em uma carta com coordenadas x=(x^1,\dots,x^n) há símbolos de Christoffel \Gamma^{i}_{\;jk}(x).
  • Após a mudança de coordenadas temos novas componentes \Gamma^{i'}_{\;j'k'}(x') na carta x'=(x'^1,\dots,x'^n).
  • Vou usar as seguintes transformações básicas (que vêm da definição de coordenadas e da regra da cadeia):
    • componentes de um vetor transformam como v^{i'} = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\, v^{m};
    • derivadas parciais mudam segundo \frac{\partial}{\partial x'^{j'}} = \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\,\frac{\partial}{\partial x^{p}}.
  • A propriedade fundamental que eu vou usar para obter a transformação é: a derivada covariante de um campo de vetores é um tensor do tipo (1,1). Em fórmulas, (\nabla_{\!j'} v^{i'}) = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\;\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;(\nabla_{\!p} v^{m}).
  • Notação: índices primados (i',j',k',\dots) referem-se às componentes na carta x'; índices sem primar (i,j,k,\dots) referem-se à carta x. Índice repetido implica soma (convenção de Einstein).

Passo 2

Lembrando a definição de derivada covariante em uma base coordenada: para um campo de vetores v,
\nabla_{\!j} v^{i} = \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{j}} + \Gamma^{i}_{\;jk}\, v^{k}.
Na carta primada a definição análoga é
\nabla_{\!j'} v^{i'} = \frac{\partial v^{i'}}{\partial x'^{j'}} + \Gamma^{i'}_{\;j'k'}\, v^{k'}.
A ideia é escrever o lado primado em termos de quantidades sem primar (usando transformação de v e das derivadas), comparar com o lado transformado do lado sem primar e isolar \Gamma^{i'}_{\;j'k'}.

Passo 3

Compute a derivada parcial do vetor transformado usando a regra da cadeia. Começo com
\frac{\partial v^{i'}}{\partial x'^{j'}}=\frac{\partial}{\partial x'^{j'}}\!\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\,v^{m}\right).
Aplicando \frac{\partial}{\partial x'^{j'}}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\frac{\partial}{\partial x^{p}} e a regra do produto,
\frac{\partial v^{i'}}{\partial x'^{j'}}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\left(\frac{\partial}{\partial x^{p}}\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\right) v^{m} + \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\,\frac{\partial v^{m}}{\partial x^{p}}\right).

Passo 4

Agora escrevo a derivada covariante primada usando a definição:
\nabla_{\!j'} v^{i'}=\frac{\partial v^{i'}}{\partial x'^{j'}}+\Gamma^{i'}_{\;j'k'}\,v^{k'}.
Substituo a expressão obtida para \partial v^{i'}/\partial x'^{j'} e uso v^{k'}=\dfrac{\partial x'^{k'}}{\partial x^{r}}v^{r}:
\nabla_{\!j'} v^{i'}= \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\left(\frac{\partial}{\partial x^{p}}\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\right) v^{m} + \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\,\frac{\partial v^{m}}{\partial x^{p}}\right) +\Gamma^{i'}_{\;j'k'}\frac{\partial x'^{k'}}{\partial x^{r}}\,v^{r}.

Passo 5

Pela propriedade tensorial da derivada covariante temos também
\nabla_{\!j'} v^{i'}=\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\;\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;\left(\frac{\partial v^{m}}{\partial x^{p}}+\Gamma^{m}_{\;pq}\,v^{q}\right).
Comparo esta expressão com a do passo anterior. Observe que os termos contendo \dfrac{\partial v^{m}}{\partial x^{p}} aparecem dos dois lados com o mesmo fator \dfrac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\dfrac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}, logo esses termos se cancelam quando subtraio uma expressão da outra. O que sobra é a relação (após igualar e rearranjar os termos que multiplicam v):
\Gamma^{i'}_{\;j'k'}\frac{\partial x'^{k'}}{\partial x^{r}} = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\;\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;\Gamma^{m}_{\;pq}\;\delta^{q}_{r} - \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;\frac{\partial}{\partial x^{p}}\!\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\right).
(escrevi \delta^{q}_{r} para indicar que o índice livre r aparece na posição apropriada).

Passo 6

Para isolar \Gamma^{i'}_{\;j'k'} multiplico por \dfrac{\partial x^{r}}{\partial x'^{k'}} (a matriz \dfrac{\partial x^{r}}{\partial x'^{k'}} é a inversa da matriz \dfrac{\partial x'^{k'}}{\partial x^{r}}):
\Gamma^{i'}_{\;j'k'} = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\;\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;\Gamma^{m}_{\;pq}\;\frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k'}} - \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\;\frac{\partial}{\partial x^{p}}\!\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\right)\; \frac{\partial x^{r}}{\partial x'^{k'}}.

Passo 7

A segunda parcela pode ser reescrita de forma mais direta em termos de derivadas segundas da função inversa x^{r}=x^{r}(x'). Note que
\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\frac{\partial}{\partial x^{p}}=\frac{\partial}{\partial x'^{j'}},
logo
\frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\frac{\partial}{\partial x^{p}}\!\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\right)\frac{\partial x^{r}}{\partial x'^{k'}} = \frac{\partial}{\partial x'^{j'}}\!\left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\right)\frac{\partial x^{r}}{\partial x'^{k'}} = \frac{\partial^{2} x'^{i'}}{\partial x'^{j'}\partial x'^{k'}},
onde, no último passo, usamos a regra da cadeia adequada para reconhecer a derivada mista em relação às coordenadas x'. Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos a forma padrão e compacta:
\boxed{\; \Gamma^{i'}_{\;j'k'}(x') = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\; \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\; \frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k'}}\; \Gamma^{m}_{\;pq}(x) \;+\; \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\; \frac{\partial^{2} x^{r}}{\partial x'^{j'}\partial x'^{k'}} \;}

Passo 8

Breve interpretação didática (para fixar): a primeira parcela transforma \Gamma «como se fosse um tensor» com o jacobiano e as inversas; a segunda parcela, envolvendo derivadas segundas da transformação de coordenadas, é um termo inhomogêneo que impede que \Gamma^{i}_{\;jk} seja um tensor. Essa é a razão pela qual o símbolo de Christoffel não é tensor — ele depende da escolha de coordenadas por meio do termo das derivadas segundas.

Resposta

\Gamma^{i'}_{\;j'k'}(x') = \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{m}}\; \frac{\partial x^{p}}{\partial x'^{j'}}\; \frac{\partial x^{q}}{\partial x'^{k'}}\; \Gamma^{m}_{\;pq}(x) + \frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^{r}}\; \frac{\partial^{2} x^{r}}{\partial x'^{j'}\partial x'^{k'}}

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