Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados. lim _{s \rightarrow 1} \frac{s^{3}-1}{s-1}
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o valor do limite
\lim_{s \rightarrow 1} \frac{s^{3}-1}{s-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão do numerador é s^{3}-1.
O denominador é s-1.
A variável s tende para 1.
A pergunta é apenas uma: encontrar o valor numérico do limite acima e, quando aplicável, indicar quais teoremas de limite foram usados.
Passo 2
Tentar a substituição direta: substituir s=1 em numerador e denominador.
Portanto a forma encontrada é \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (algebraicamente ou usando teoremas) para resolver a indeterminação.
Passo 3
Uma maneira clássica de remover essa indeterminação é fatorar o numerador. Lembre a identidade algébrica da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
válida para quaisquer a e b. Aqui faça a=s e b=1. Aplicando a identidade:
Como a expressão é considerada para s tendendo a 1 (mas s\neq1 na vizinhança), podemos cancelar o fator comum s-1 para s\neq1, obtendo a função equivalente fora do ponto:
Agora usamos a propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em uma vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), têm o mesmo limite quando s tende a esse ponto. Além disso, polinômios são funções contínuas, então o limite de um polinômio na aproximação de um ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto. Por isso
Avalie o polinômio por substituição direta (continuidade):
\lim_{s\to1}\bigl(s^{2}+s+1\bigr)=1^{2}+1+1=3.
Portanto o limite existe e vale 3.
Passo 6
(Alternativa — uso do Teorema de l’Hôpital) — como verificação: tínhamos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. O Teorema de l’Hôpital diz que, se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança de 1 (exceto possivelmente em 1) e o limite das derivadas existe, então