Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{s \rightarrow 1} \frac{s^{3}-1}{s-1}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o valor do limite
\lim_{s \rightarrow 1} \frac{s^{3}-1}{s-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do numerador é s^{3}-1.
  • O denominador é s-1.
  • A variável s tende para 1.
    A pergunta é apenas uma: encontrar o valor numérico do limite acima e, quando aplicável, indicar quais teoremas de limite foram usados.

Passo 2

Tentar a substituição direta: substituir s=1 em numerador e denominador.
s^{3}-1\big|_{s=1}=1^{3}-1=0, \qquad s-1\big|_{s=1}=1-1=0.
Portanto a forma encontrada é \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão (algebraicamente ou usando teoremas) para resolver a indeterminação.

Passo 3

Uma maneira clássica de remover essa indeterminação é fatorar o numerador. Lembre a identidade algébrica da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
válida para quaisquer a e b. Aqui faça a=s e b=1. Aplicando a identidade:
s^{3}-1=(s-1)\bigl(s^{2}+s+1\bigr).
Substituindo na fração original:
\frac{s^{3}-1}{s-1}=\frac{(s-1)\bigl(s^{2}+s+1\bigr)}{s-1}.

Passo 4

Como a expressão é considerada para s tendendo a 1 (mas s\neq1 na vizinhança), podemos cancelar o fator comum s-1 para s\neq1, obtendo a função equivalente fora do ponto:
\frac{s^{3}-1}{s-1}=s^{2}+s+1\qquad\text{para }s\neq1.
Agora usamos a propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em uma vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), têm o mesmo limite quando s tende a esse ponto. Além disso, polinômios são funções contínuas, então o limite de um polinômio na aproximação de um ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto. Por isso
\lim_{s\to1}\frac{s^{3}-1}{s-1}=\lim_{s\to1}\bigl(s^{2}+s+1\bigr).

Passo 5

Avalie o polinômio por substituição direta (continuidade):
\lim_{s\to1}\bigl(s^{2}+s+1\bigr)=1^{2}+1+1=3.
Portanto o limite existe e vale 3.

Passo 6

(Alternativa — uso do Teorema de l’Hôpital) — como verificação: tínhamos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. O Teorema de l’Hôpital diz que, se numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança de 1 (exceto possivelmente em 1) e o limite das derivadas existe, então
\lim_{s\to1}\frac{s^{3}-1}{s-1}=\lim_{s\to1}\frac{3s^{2}}{1}.
Calculando:
\lim_{s\to1}3s^{2}=3\cdot1^{2}=3.
Isso confirma o resultado obtido por fatoração. As hipóteses de l’Hôpital (diferenciabilidade e forma 0/0) são satisfeitas aqui.

Passo 7

Resumo dos teoremas/ideias usados:
  • Identidade algébrica da diferença de cubos para fatorar o numerador.
  • Lei de cancelamento para s\neq1 e a propriedade de que funções que coincidem numa vizinhança têm o mesmo limite.
  • Continuidade de polinômios (permite avaliar o limite pela substituição).
  • Opcionalmente, o Teorema de l’Hôpital como verificação (aplicável porque era uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e as funções são diferenciáveis).

Resposta

3

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