Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que se quer:
- A expressão é a função racional
. - O ponto de interesse é
. - Deve-se encontrar o valor do limite (se existir) e indicar os teoremas de limite usados.
Passo 2
Tentar substituição direta (isso é sempre a primeira tentativa para funções racionais, pois muitas vezes dá certo). Calcular numerador e denominador em
:
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição e precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando ou simplificando) antes de aplicar teoremas de limite.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade da soma de cubos. Lembrete e prova curta da identidade: para quaisquer
e
,
Para ver que isso vale, basta expandir o lado direito:
No nosso caso, tome
e
. Assim
Passo 4
Substituir a fatoração na fração:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a igualdade (em qualquer ponto diferente de
):
Isso mostra que a função original coincide com o polinômio
em um vizinhança de
, exceto possivelmente no próprio ponto
. Para fins de limite essa observação é suficiente: limites dependem do comportamento quando
se aproxima de
, não do valor no ponto.
Passo 5
Usar teoremas de limite apropriados:
- Teorema da igualdade em vizinhança puncturada: se
para todo num vizinho de com , então (se o limite existir). - Continuidade de polinômios: todo polinômio é contínuo em
. Assim . - Regra de substituição/continuidade: se
é contínua em então .
Aplicando esses teoremas, como a nossa função é igual ao polinômio
para
próximos de
(com
), podemos calcular o limite substituindo diretamente em
.
Passo 6
Calcular o valor substituindo
no polinômio: