Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{y \rightarrow-2} \frac{y^{3}+8}{y+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{y\to -2} \frac{y^{3}+8}{y+2}.
Informações dadas e o que se quer:
  • A expressão é a função racional \dfrac{y^{3}+8}{y+2}.
  • O ponto de interesse é y\to -2.
  • Deve-se encontrar o valor do limite (se existir) e indicar os teoremas de limite usados.

Passo 2

Tentar substituição direta (isso é sempre a primeira tentativa para funções racionais, pois muitas vezes dá certo). Calcular numerador e denominador em y=-2:
(-2)^{3}+8 = -8+8 = 0, \qquad -2+2=0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas pela substituição e precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando ou simplificando) antes de aplicar teoremas de limite.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade da soma de cubos. Lembrete e prova curta da identidade: para quaisquer a e b,
a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).
Para ver que isso vale, basta expandir o lado direito:
(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}.
No nosso caso, tome a=y e b=2. Assim
y^{3}+8 = y^{3}+2^{3} = (y+2)(y^{2}-2y+4).

Passo 4

Substituir a fatoração na fração:
\frac{y^{3}+8}{y+2}=\frac{(y+2)(y^{2}-2y+4)}{y+2}.
Para y\neq -2 podemos cancelar o fator comum y+2, obtendo a igualdade (em qualquer ponto diferente de -2):
\frac{y^{3}+8}{y+2}=y^{2}-2y+4,\qquad (y\neq -2).
Isso mostra que a função original coincide com o polinômio y^{2}-2y+4 em um vizinhança de -2, exceto possivelmente no próprio ponto y=-2. Para fins de limite essa observação é suficiente: limites dependem do comportamento quando y se aproxima de -2, não do valor no ponto.

Passo 5

Usar teoremas de limite apropriados:
  • Teorema da igualdade em vizinhança puncturada: se f(x)=g(x) para todo x num vizinho de a com x\neq a, então \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x) (se o limite existir).
  • Continuidade de polinômios: todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Assim \lim_{y\to -2} \bigl(y^{2}-2y+4\bigr) = (-2)^{2}-2(-2)+4.
  • Regra de substituição/continuidade: se g é contínua em a então \lim_{x\to a} g(x)=g(a).
Aplicando esses teoremas, como a nossa função é igual ao polinômio y^{2}-2y+4 para y próximos de -2 (com y\neq -2), podemos calcular o limite substituindo diretamente em y^{2}-2y+4.

Passo 6

Calcular o valor substituindo y=-2 no polinômio:
(-2)^{2}-2(-2)+4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Resposta

12

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