Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão tem uma raiz quadrada no numerador:
. - Se eu faço a substituição direta
, o numerador fica e o denominador fica . Portanto a forma obtida por substituição é , que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o valor do limite só por substituição.
Passo 2
O que podemos fazer quando aparece uma forma
? Existem vários caminhos:
- manipular algebraicamente a expressão para simplificá‑la (método elemental);
- usar a regra de L’Hôpital (se as funções forem diferenciáveis e as condições forem satisfeitas);
- usar propriedades de continuidade se conseguirmos reescrever a expressão de forma conveniente.
Vou usar aqui um método elemental e muito comum para raízes: racionalizar pelo conjugado. É um método básico que costuma ser pedido em prova porque dispensa derivadas e calculadora.
Passo 3
Explicando a ideia por trás da racionalização (uma mini‑aula):
- O conjugado de
é . - A identidade algébrica útil é
. Aplicando com e dá . - Multiplicar numerador e denominador por
é permitido (desde que no ponto de multiplicação), porque isso equivale a multiplicar por :
Esse passo permite eliminar a diferença de raízes no numerador transformando em algo que simplifica com o denominador.
Passo 4
Fazendo a multiplicação e simplificação passo a passo (mostrando todas as contas):
Usando a identidade
, a expressão fica (para
):
Agora cancelamos o fator comum
(novamente lembrando que isso é válido para
):
Portanto, para todo
próximo de
com
, vale
Passo 5
Agora usamos teoremas de limites e continuidade para concluir o valor do limite.
- Teorema usado: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de
exceto possivelmente em e uma delas tem limite quando , então a outra tem o mesmo limite. Além disso, a função é contínua em , logo . - Aplicando isso à expressão simplificada, temos
Como a soma e a inversa de funções contínuas são contínuas e
, podemos fazer substituição direta:
Passo 6
(Método alternativo — indicação de teorema usado) Outra forma válida é aplicar a regra de L’Hôpital, porque a forma original é
e tanto
quanto
são diferenciáveis perto de
. Derivando numerador e denominador:
Pela regra de L’Hôpital,
o que confirma o resultado anterior.