Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão tem uma raiz quadrada no numerador: \sqrt{x}.
  • Se eu faço a substituição direta x=1, o numerador fica \sqrt{1}-1=0 e o denominador fica 1-1=0. Portanto a forma obtida por substituição é \tfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o valor do limite só por substituição.

Passo 2

O que podemos fazer quando aparece uma forma \tfrac{0}{0}? Existem vários caminhos:
  • manipular algebraicamente a expressão para simplificá‑la (método elemental);
  • usar a regra de L’Hôpital (se as funções forem diferenciáveis e as condições forem satisfeitas);
  • usar propriedades de continuidade se conseguirmos reescrever a expressão de forma conveniente.
Vou usar aqui um método elemental e muito comum para raízes: racionalizar pelo conjugado. É um método básico que costuma ser pedido em prova porque dispensa derivadas e calculadora.

Passo 3

Explicando a ideia por trás da racionalização (uma mini‑aula):
  • O conjugado de \sqrt{x}-1 é \sqrt{x}+1.
  • A identidade algébrica útil é (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aplicando com a=\sqrt{x} e b=1 (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1.
  • Multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x}+1 é permitido (desde que x\neq1 no ponto de multiplicação), porque isso equivale a multiplicar por 1:
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}.
Esse passo permite eliminar a diferença de raízes no numerador transformando em algo que simplifica com o denominador.

Passo 4

Fazendo a multiplicação e simplificação passo a passo (mostrando todas as contas):
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}.
Usando a identidade (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1, a expressão fica (para x\neq1):
\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}.
Agora cancelamos o fator comum x-1 (novamente lembrando que isso é válido para x\neq1):
\frac{1}{\sqrt{x}+1}.
Portanto, para todo x próximo de 1 com x\neq1, vale
\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}.

Passo 5

Agora usamos teoremas de limites e continuidade para concluir o valor do limite.
  • Teorema usado: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de a exceto possivelmente em a e uma delas tem limite L quando x\to a, então a outra tem o mesmo limite. Além disso, a função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em x=1, logo \lim_{x\to1}\sqrt{x}=\sqrt{1}=1.
  • Aplicando isso à expressão simplificada, temos
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}.
Como a soma e a inversa de funções contínuas são contínuas e \sqrt{1}+1=2\neq0, podemos fazer substituição direta:
\lim_{x\to1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

(Método alternativo — indicação de teorema usado) Outra forma válida é aplicar a regra de L’Hôpital, porque a forma original é \tfrac{0}{0} e tanto \sqrt{x}-1 quanto x-1 são diferenciáveis perto de x=1. Derivando numerador e denominador:
\text{numerador}'=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \text{denominador}'=\frac{d}{dx}(x-1)=1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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