Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{t \rightarrow 3 / 2} \sqrt{\frac{8 t^{3}-27}{4 t^{2}-9}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{t \to 3/2} \sqrt{\frac{8 t^{3}-27}{4 t^{2}-9}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a raiz quadrada (principal) de uma razão envolvendo polinômios.
  • O ponto de interesse é t=3/2.
    Pergunta a responder:
  • Calcular esse limite (e, quando aplicável, indicar os teoremas de limite usados).

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituir t=3/2 diretamente na expressão para ver se dá um valor imediato. Calcular numerador e denominador em t=3/2:
8\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 - 27 \quad\text{e}\quad 4\left(\tfrac{3}{2}\right)^2 - 9.
Avaliação:
8\left(\tfrac{27}{8}\right)-27 = 27-27 = 0, \qquad 4\left(\tfrac{9}{4}\right)-9 = 9-9 = 0.
Portanto a expressão dentro da raiz é da forma 0/0, isto é, indeterminada — não dá para simplesmente substituir. Temos que manipular algebricamente.

Passo 3

Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Aqui é natural tomar a=2t e b=3, porque 8t^3=(2t)^3 e 27=3^3. Assim,
8t^3-27=(2t-3)\bigl((2t)^2+(2t)\cdot 3+3^2\bigr).
Escrevendo explicitamente os termos:
8t^3-27=(2t-3)\,(4t^2+6\cdot 2t? \text{ cuidado}) .
Corrigindo e expandindo corretamente:
8t^3-27=(2t-3)(4t^2+6t\cdot 2? \text{ vou reescrever com calma}).
(OK, vamos fazer sem confusão: aplicar a fórmula direto:)
8t^3-27=(2t-3)\bigl(4t^2 + 6t + 9\bigr).
Explicação: (2t)^2=4t^2, (2t)\cdot 3=6t, 3^2=9.

Passo 4

Fatorar o denominador que é diferença de quadrados:
4t^2-9=(2t)^2-3^2=(2t-3)(2t+3).

Passo 5

Substituir as fatorações dentro da fração e cancelar o fator comum (2t-3), que é válido para t\neq 3/2:
\frac{8t^3-27}{4t^2-9} = \frac{(2t-3)(4t^2+6t+9)}{(2t-3)(2t+3)} =\frac{4t^2+6t+9}{2t+3},\qquad (t\neq 3/2).
Assim a função original, para t\neq 3/2, é igual a
f(t)=\sqrt{\frac{4t^2+6t+9}{2t+3}}.

Passo 6

Agora usamos teoremas de limite básicos: polinômios são funções contínuas, quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero, e a raiz quadrada (função x\mapsto\sqrt{x}) é contínua em (0,\infty). Portanto, se conseguirmos mostrar que
\lim_{t\to 3/2}\frac{4t^2+6t+9}{2t+3}
existe e é um número positivo, então podemos trocar limite e raiz e avaliar por substituição.
Como a expressão interna agora é uma razão de polinômios e o denominador em t=3/2 vale
2\cdot\tfrac{3}{2}+3 = 3+3 = 6 \neq 0,
podemos simplesmente substituir t=3/2 (continuidade dos polinômios e do quociente). Avaliando:
\frac{4\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+6\left(\tfrac{3}{2}\right)+9}{2\left(\tfrac{3}{2}\right)+3} = \frac{4\cdot\tfrac{9}{4}+9+9}{3+3} = \frac{9+9+9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}=4{,}5.
(Observação: se preferir calcular passo a passo: 4t^2=9, 6t=9, soma 9+9+9=27; denominador 6; razão 27/6=9/2.)

Passo 7

Agora aplicamos continuidade da raiz quadrada em (0,\infty). Como o valor interno é positivo ( 9/2>0), vale
\lim_{t\to 3/2} \sqrt{\frac{8 t^{3}-27}{4 t^{2}-9}} = \sqrt{\lim_{t\to 3/2}\frac{8 t^{3}-27}{4 t^{2}-9}} = \sqrt{\frac{9}{2}}.
Simplificando,
\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\sqrt{ \, \frac{9}{2}\, }.
Também é possível racionalizar para obter \tfrac{3\sqrt{2}}{2}, se preferir.

Passo 8

Resumo dos teoremas usados:
  • Fatoração algébrica (diferença de cubos e diferença de quadrados) para remover a indeterminação 0/0.
  • Propriedade de limites para soma, produto e quociente: permitiu avaliar a razão simplificada por substituição porque polinômios são contínuos e denominador no ponto-limite é não nulo.
  • Continuidade da função raiz quadrada em (0,\infty): permite passar o limite para dentro da raiz.
Força aí — mesma técnica vale para muitos limites onde aparece 0/0: tente fatorar e simplificar antes de apelar para derivadas.

Resposta

\dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}

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