Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas:
- A expressão é a raiz quadrada (principal) de uma razão envolvendo polinômios.
- O ponto de interesse é
.
Pergunta a responder: - Calcular esse limite (e, quando aplicável, indicar os teoremas de limite usados).
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituir
diretamente na expressão para ver se dá um valor imediato. Calcular numerador e denominador em
:
Avaliação:
Portanto a expressão dentro da raiz é da forma
, isto é, indeterminada — não dá para simplesmente substituir. Temos que manipular algebricamente.
Passo 3
Fatorar o numerador usando a identidade de diferença de cubos:
Aqui é natural tomar
e
, porque
e
. Assim,
Escrevendo explicitamente os termos:
Corrigindo e expandindo corretamente:
(OK, vamos fazer sem confusão: aplicar a fórmula direto:)
Explicação:
,
,
.
Passo 4
Fatorar o denominador que é diferença de quadrados:
Passo 5
Substituir as fatorações dentro da fração e cancelar o fator comum
, que é válido para
:
Assim a função original, para
, é igual a
Passo 6
Agora usamos teoremas de limite básicos: polinômios são funções contínuas, quociente de funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero, e a raiz quadrada (função
) é contínua em
. Portanto, se conseguirmos mostrar que
existe e é um número positivo, então podemos trocar limite e raiz e avaliar por substituição.
Como a expressão interna agora é uma razão de polinômios e o denominador em
vale
podemos simplesmente substituir
(continuidade dos polinômios e do quociente). Avaliando:
(Observação: se preferir calcular passo a passo:
,
, soma
; denominador
; razão
.)
Passo 7
Agora aplicamos continuidade da raiz quadrada em
. Como o valor interno é positivo (
), vale
Simplificando,
Também é possível racionalizar para obter
, se preferir.
Passo 8
Resumo dos teoremas usados:
- Fatoração algébrica (diferença de cubos e diferença de quadrados) para remover a indeterminação
. - Propriedade de limites para soma, produto e quociente: permitiu avaliar a razão simplificada por substituição porque polinômios são contínuos e denominador no ponto-limite é não nulo.
- Continuidade da função raiz quadrada em
: permite passar o limite para dentro da raiz.
Força aí — mesma técnica vale para muitos limites onde aparece
: tente fatorar e simplificar antes de apelar para derivadas.