Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim \left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da expressão \sqrt{25 t^{2}+2}-5 t. O enunciado não especifica para qual valor de t devemos tomar o limite, portanto vou analisar os casos mais naturais em exercícios desse tipo: o limite quando t\to+\infty e o limite quando t\to-\infty. Informações dadas e relevantes: a expressão está definida para todo t\in\mathbb{R} e envolve uma diferença entre uma raiz que cresce com |t| e a função linear 5t.

Passo 2

Motivação e técnica útil (explicação didática): para t grande em módulo a raiz \sqrt{25t^2+2} e o termo 5t são grandes, então a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty. Um truque clássico é multiplicar por \dfrac{\sqrt{25t^2+2}+5t}{\sqrt{25t^2+2}+5t} (o conjugado) para “racionalizar” e eliminar a diferença de grandes termos. Fazendo isso:
\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t = \frac{\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)\left(\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t\right)}{\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t} = \frac{25 t^{2}+2-25 t^{2}}{\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t} = \frac{2}{\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t}.
Explicando cada passo: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado; no numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2; o 25t^2 cancela, sobrando 2. Agora a expressão está numa forma que é mais fácil de analisar para t grande.

Passo 3

Cálculo do limite quando t\to+\infty (passo a passo e justificativa rigorosa): para t>0 temos \sqrt{25t^2+2}\ge 5t. Então o denominador da forma racionalizada satisfaz
\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t \ge 5t+5t = 10t.
Assim, para t>0,
0 < \frac{2}{\sqrt{25 t^{2}+2}+5 t} \le \frac{2}{10t} = \frac{1}{5t}.
Como \dfrac{1}{5t}\to 0 quando t\to+\infty, pelo princípio do confronto (ou squeezed theorem) concluímos que
\lim_{t\to+\infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right) = 0.
Interpretação intuitiva: para t positivo grande a raiz comporta-se como 5t e a diferença tende a zero.

Passo 4

Cálculo do limite quando t\to-\infty (explicação clara e mudança de variável): faça t=-s com s\to+\infty. Então
\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t = \sqrt{25 s^{2}+2} -5(-s) = \sqrt{25 s^{2}+2} + 5s.
Aqui ambos os termos são positivos e crescem com s. Em particular, \sqrt{25 s^{2}+2}\ge 5s, então
\sqrt{25 s^{2}+2} + 5s \ge 5s + 5s = 10s,
e portanto quando s\to+\infty essa soma tende a +\infty. Voltando à variável original, temos
\lim_{t\to-\infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right) = +\infty.
Observação alternativa (pela forma racionalizada): para t\to -\infty o denominador \sqrt{25 t^{2}+2}+5t tende a 0^+, então 2/(\text{denominador})\to +\infty; ambas as explicações dão o mesmo resultado.

Passo 5

Conclusão final sobre existência do limite global: os dois limites nas direções opostas do infinito são diferentes ( 0 para t\to+\infty e +\infty para t\to-\infty). Portanto não existe um único limite quando t tende a infinito sem especificar o sentido. Se a intenção do enunciado for o limite para t\to+\infty, o valor é 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to+\infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)=0
\displaystyle \lim_{t\to-\infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)=+\infty

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