Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite da expressão
. O enunciado não especifica para qual valor de
devemos tomar o limite, portanto vou analisar os casos mais naturais em exercícios desse tipo: o limite quando
e o limite quando
. Informações dadas e relevantes: a expressão está definida para todo
e envolve uma diferença entre uma raiz que cresce com
e a função linear
.
Passo 2
Motivação e técnica útil (explicação didática): para
grande em módulo a raiz
e o termo
são grandes, então a expressão tem a forma indeterminada
. Um truque clássico é multiplicar por
(o conjugado) para “racionalizar” e eliminar a diferença de grandes termos. Fazendo isso:
Explicando cada passo: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado; no numerador usamos a identidade
; o
cancela, sobrando
. Agora a expressão está numa forma que é mais fácil de analisar para
grande.
Passo 3
Cálculo do limite quando
(passo a passo e justificativa rigorosa): para
temos
. Então o denominador da forma racionalizada satisfaz
Assim, para
,
Como
quando
, pelo princípio do confronto (ou squeezed theorem) concluímos que
Interpretação intuitiva: para
positivo grande a raiz comporta-se como
e a diferença tende a zero.
Passo 4
Cálculo do limite quando
(explicação clara e mudança de variável): faça
com
. Então
Aqui ambos os termos são positivos e crescem com
. Em particular,
, então
e portanto quando
essa soma tende a
. Voltando à variável original, temos
Observação alternativa (pela forma racionalizada): para
o denominador
tende a
, então
; ambas as explicações dão o mesmo resultado.
Passo 5
Conclusão final sobre existência do limite global: os dois limites nas direções opostas do infinito são diferentes (
para
e
para
). Portanto não existe um único limite quando
tende a infinito sem especificar o sentido. Se a intenção do enunciado for o limite para
, o valor é
.