Uma das equações da reta que é tangente à elipse
e que intersecta o eixo
no ponto de abscissa 9 é dada por
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar qual das retas dadas é uma das retas tangentes à elipse
e que intersecta o eixo
no ponto de abscissa
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A conica é
- A reta procurada passa por
(pois sua interseção com o eixo tem abscissa ). - As opções propostas são as retas:
O que precisamos determinar: qual dessas retas é tangente à elipse (ou seja, toca a elipse em exatamente um ponto).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): para verificar se uma reta é tangente a uma curva dada por uma equação algébrica, uma técnica simples é substituir a equação da reta na equação da curva e analisar o sistema resultante. Ao substituir, obtemos uma equação quadrática (em
ou em
). A reta é tangente quando essa quadrática tem exatamente uma solução real — isto ocorre quando o discriminante da quadrática é igual a zero. Vou usar essa ideia porque exige apenas álgebra (expansão e cálculo do discriminante), que é direto de aplicar em prova sem usar cálculo diferencial nem achar pontos explícitos primeiro.
Breve lembrete sobre discriminante: para uma equação quadrática
o discriminante é
. Se
há duas interseções (dois pontos), se
há tangência (um ponto), se
não há interseção real.
Passo 3
Parametrização da reta genérica que passa por
: qualquer reta que passa por
pode ser escrita como
onde
é o coeficiente angular (a inclinação) da reta. Vou substituir essa forma na equação da elipse.
Substituindo
em
:
Agora expandimos
:
Multiplicando por
e somando com
fica:
Distribuindo:
Reagrupando como uma quadrática em
:
Identificamos os coeficientes da quadrática:
Passo 4
Cálculo do discriminante
e condição de tangência:
Calculamos
:
Calculamos
:
Expandindo passo a passo:
Multiplicando por
:
Agora
:
Fatorando:
Condição de tangência:
. Então
Logo
Passo 5
Relacionando isso com as opções dadas: vamos escrever o coeficiente angular
de cada reta das alternativas (todas passam por
, como checamos ao substituir
nas equações):
- (a)
, então - (b)
, então - (c)
, então - (d)
, então - (e)
, então
Da condição de tangência temos
. Entre as opções, a que tem
é a alternativa (c), que corresponde à reta
(A outra reta tangente com
seria
, que não está entre as opções.)
Resposta
(c)