Uma das equações da reta que é tangente à elipse x^{2}+2 y^{2}=9 e que intersecta o eixo x no ponto de abscissa 9 é dada por
a) x-5 y=9
b) x+3 y=9
c) x+4 y=9
d) x-3 y=9
e) x+y=9

Passo 1

O enunciado pede: encontrar qual das retas dadas é uma das retas tangentes à elipse x^{2}+2y^{2}=9 e que intersecta o eixo x no ponto de abscissa 9.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A conica é x^{2}+2y^{2}=9.
  • A reta procurada passa por (9,0) (pois sua interseção com o eixo x tem abscissa 9).
  • As opções propostas são as retas:
\text{(a) }x-5y=9,\quad \text{(b) }x+3y=9,\quad \text{\text{(c)} }x+4y=9,\quad \text{(d) }x-3y=9,\quad \text{(e) }x+y=9.
O que precisamos determinar: qual dessas retas é tangente à elipse (ou seja, toca a elipse em exatamente um ponto).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): para verificar se uma reta é tangente a uma curva dada por uma equação algébrica, uma técnica simples é substituir a equação da reta na equação da curva e analisar o sistema resultante. Ao substituir, obtemos uma equação quadrática (em x ou em y). A reta é tangente quando essa quadrática tem exatamente uma solução real — isto ocorre quando o discriminante da quadrática é igual a zero. Vou usar essa ideia porque exige apenas álgebra (expansão e cálculo do discriminante), que é direto de aplicar em prova sem usar cálculo diferencial nem achar pontos explícitos primeiro.
Breve lembrete sobre discriminante: para uma equação quadrática Ax^{2}+Bx+C=0 o discriminante é \Delta=B^{2}-4AC. Se \Delta>0 há duas interseções (dois pontos), se \Delta=0 há tangência (um ponto), se \Delta<0 não há interseção real.

Passo 3

Parametrização da reta genérica que passa por (9,0): qualquer reta que passa por (9,0) pode ser escrita como
y = m (x-9),
onde m é o coeficiente angular (a inclinação) da reta. Vou substituir essa forma na equação da elipse.
Substituindo \;y=m(x-9)\; em \;x^{2}+2y^{2}=9\;:
x^{2} + 2\bigl(m(x-9)\bigr)^{2} = 9.
Agora expandimos \bigl(x-9\bigr)^{2}:
\bigl(x-9\bigr)^{2} = x^{2} -18x +81.
Multiplicando por 2m^{2} e somando com x^{2} fica:
x^{2} + 2m^{2}(x^{2}-18x+81) = 9.
Distribuindo:
x^{2} + 2m^{2}x^{2} -36m^{2}x +162m^{2} = 9.
Reagrupando como uma quadrática em x:
\bigl(1+2m^{2}\bigr)x^{2} -36m^{2}x + \bigl(162m^{2}-9\bigr) = 0.
Identificamos os coeficientes da quadrática:
A = 1+2m^{2},\quad B = -36m^{2},\quad C = 162m^{2}-9.

Passo 4

Cálculo do discriminante \Delta e condição de tangência:
\Delta = B^{2} - 4AC.
Calculamos B^{2}:
B^{2} = (-36m^{2})^{2} = 1296m^{4}.
Calculamos 4AC:
4AC = 4(1+2m^{2})(162m^{2}-9).
Expandindo passo a passo:
(1+2m^{2})(162m^{2}-9) = 162m^{2}-9 + 324m^{4}-18m^{2} = 324m^{4} + 144m^{2} -9.
Multiplicando por 4:
4AC = 1296m^{4} + 576m^{2} -36.
Agora \Delta:
\Delta = 1296m^{4} - \bigl(1296m^{4} + 576m^{2} -36\bigr) = 36 - 576m^{2}.
Fatorando:
\Delta = 36(1 - 16m^{2}).
Condição de tangência: \Delta = 0. Então
36(1 - 16m^{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 - 16m^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad m^{2} = \tfrac{1}{16}.
Logo
m = \pm \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Relacionando isso com as opções dadas: vamos escrever o coeficiente angular m de cada reta das alternativas (todas passam por (9,0), como checamos ao substituir (9,0) nas equações):
  • (a) \;x-5y=9\Rightarrow y=\dfrac{x-9}{5}, então m=\dfrac{1}{5}.
  • (b) \;x+3y=9\Rightarrow y=\dfrac{9-x}{3}=-\dfrac{1}{3}(x-9), então m=-\dfrac{1}{3}.
  • (c) \;x+4y=9\Rightarrow y=\dfrac{9-x}{4}=-\dfrac{1}{4}(x-9), então m=-\dfrac{1}{4}.
  • (d) \;x-3y=9\Rightarrow y=\dfrac{x-9}{3}, então m=\dfrac{1}{3}.
  • (e) \;x+y=9\Rightarrow y=9-x=-(x-9), então m=-1.
Da condição de tangência temos m=\pm \tfrac{1}{4}. Entre as opções, a que tem m=-\tfrac{1}{4} é a alternativa (c), que corresponde à reta \;x+4y=9. (A outra reta tangente com m=+\tfrac{1}{4} seria \;x-4y=9, que não está entre as opções.)

Resposta

(c) \;x+4y=9

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