Inverta a ordem e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
Informações dadas:
- O domínio de integração é dado por
e, para cada nessa faixa, varia de até . - A integranda é
, que depende somente de .
O que se pede:
- Encontrar uma descrição equivalente do mesmo domínio com integração em primeiro lugar em
(ou seja, escrever como ). - Calcular o valor numérico da integral após inverter a ordem.
Passo 2
Vamos entender as curvas que limitam o domínio no plano
.
As curvas são:
(equação de uma reta com inclinação
) e
(semicírculo superior da circunferência
, raio
).
Também temos a restrição vertical
. Essas três informações definem a região
de integração.
Passo 3
Calcular a interseção entre as duas curvas para saber onde elas se encontram dentro do intervalo em
.
Igualamos:
Como
, a igualdade exige
. Elevando ao quadrado:
Como precisamos de
, temos
. Então a interseção é no ponto
porque
. Observe que em
temos
variando de
até
.
Passo 4
Determinar os valores possíveis de
na região
.
Pelo desenho mental e pelos pontos extremos:
- O menor
que aparece em é (quando e ). - O maior
que aparece é o ponto mais alto do semicírculo dentro da faixa, que é (em ).
Portanto o intervalo total em
é
Passo 5
Para inverter a ordem, para cada
fixo precisamos achar o intervalo em
tal que
.
As condições que definem
são simultaneamente:
Reescrevendo a segunda condição para
:
.
Reescrevendo a terceira para :
Reescrevendo a terceira para
Agora combinamos tudo lembrando que
deve ficar em
. Precisamos analisar dois casos, porque a posição relativa da reta
e da curva
muda quando
passa por
.
Passo 6
Determinar os limites em
para cada faixa de
.
- Para
: temos e (pois para , então ). Assim, dentro de a condição é automática (não é restritiva), e a restrição ativa é . Portanto, para temos
isto é
- Para
: agora (pois ), então a condição é menos restritiva que . A restrição relevante vem do semicírculo: (e também , mas e o nosso teto é ). Assim, para temos
Portanto, ao inverter a ordem, o domínio em
se divide em duas partes:
e
, com limites de
conforme acima.
Passo 7
Escrever a integral com a ordem trocada usando a divisão em dois trechos:
Comentário: aqui a integranda
não depende de
, então a integral interna em
será simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo em
.
Passo 8
Calcular as integrais internas em
.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Logo a integral total vira
Passo 9
Calcular a primeira integral
Usamos a substituição clássica para integrais do tipo
: ponha
Quando
,
. Quando
,
. Então
Agora integrar
:
Assim
Passo 10
Calcular a segunda integral
Integramos termo a termo:
Avaliaremos de
a
:
Como
, isso vira
Passo 11
Somar
e
:
Juntando termos sobre o denominador comum
:
Fatorando
: