Inverta a ordem e calcule a integral
\int_{-1}^{0} \int_{-x}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{2-y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
\int_{-1}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{2-x^{2}}}\sqrt{2-y^{2}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é dado por -1 \le x \le 0 e, para cada x nessa faixa, y varia de y=-x até y=\sqrt{2-x^{2}}.
  • A integranda é \sqrt{2-y^{2}}, que depende somente de y.
O que se pede:
  • Encontrar uma descrição equivalente do mesmo domínio com integração em primeiro lugar em x (ou seja, escrever como \int_{y=\dots}^{\dots}\int_{x=\dots}^{\dots} \cdots dx\,dy).
  • Calcular o valor numérico da integral após inverter a ordem.

Passo 2

Vamos entender as curvas que limitam o domínio no plano xy.
As curvas são:
y=-x
(equação de uma reta com inclinação -1) e
y=\sqrt{2-x^{2}}
(semicírculo superior da circunferência x^{2}+y^{2}=2, raio \sqrt{2}).
Também temos a restrição vertical -1\le x\le 0. Essas três informações definem a região D de integração.

Passo 3

Calcular a interseção entre as duas curvas para saber onde elas se encontram dentro do intervalo em x.
Igualamos:
-x=\sqrt{2-x^{2}}.
Como \sqrt{2-x^{2}}\ge 0, a igualdade exige x\le 0. Elevando ao quadrado:
x^{2}=2-x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=2\quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
Como precisamos de x\le 0, temos x=-1. Então a interseção é no ponto
(x,y)=(-1,1),
porque y=-(-1)=1. Observe que em x=0 temos y variando de 0 até \sqrt{2}.

Passo 4

Determinar os valores possíveis de y na região D.
Pelo desenho mental e pelos pontos extremos:
  • O menor y que aparece em D é y=0 (quando x=0 e y=-x=0).
  • O maior y que aparece é o ponto mais alto do semicírculo dentro da faixa, que é y=\sqrt{2} (em x=0).
Portanto o intervalo total em y é
0\le y\le \sqrt{2}.

Passo 5

Para inverter a ordem, para cada y fixo precisamos achar o intervalo em x tal que (x,y)\in D.
As condições que definem D são simultaneamente:
-1\le x\le 0,\qquad y\ge -x,\qquad y\le \sqrt{2-x^{2}}.
Reescrevendo a segunda condição para x: y\ge -x \iff x\ge -y.
Reescrevendo a terceira para x: y\le \sqrt{2-x^{2}}\iff x^{2}\le 2-y^{2}\iff -\sqrt{2-y^{2}}\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
Agora combinamos tudo lembrando que x deve ficar em [-1,0]. Precisamos analisar dois casos, porque a posição relativa da reta x=-y e da curva x=-\sqrt{2-y^{2}} muda quando y passa por 1.

Passo 6

Determinar os limites em x para cada faixa de y.
  • Para 0\le y\le 1: temos -y\in [-1,0] e -\sqrt{2-y^{2}}\le -1 (pois para 0\le y\le1, \sqrt{2-y^{2}}\ge1 então -\sqrt{2-y^{2}}\le -1). Assim, dentro de [-1,0] a condição x\ge -\sqrt{2-y^{2}} é automática (não é restritiva), e a restrição ativa é x\ge -y. Portanto, para 0\le y\le 1 temos
-x\text{ (esquerda) } \Rightarrow x=-y,\qquad\text{e direita } x=0,
isto é
- y \le x \le 0.
  • Para 1\le y\le \sqrt{2}: agora -y\le -1 (pois y\ge1), então a condição x\ge -y é menos restritiva que x\ge -1. A restrição relevante vem do semicírculo: x\ge -\sqrt{2-y^{2}} (e também x\le \sqrt{2-y^{2}}, mas \sqrt{2-y^{2}}\ge0 e o nosso teto é x\le0). Assim, para 1\le y\le \sqrt{2} temos
-\sqrt{2-y^{2}}\le x\le 0.
Portanto, ao inverter a ordem, o domínio em y se divide em duas partes: 0\le y\le 1 e 1\le y\le \sqrt{2}, com limites de x conforme acima.

Passo 7

Escrever a integral com a ordem trocada usando a divisão em dois trechos:
\int_{-1}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{2-x^{2}}}\sqrt{2-y^{2}}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{-y}^{0}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy + \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{0}\sqrt{2-y^{2}}\,dx\,dy.
Comentário: aqui a integranda \sqrt{2-y^{2}} não depende de x, então a integral interna em x será simplesmente essa função multiplicada pelo comprimento do intervalo em x.

Passo 8

Calcular as integrais internas em x.
Para o primeiro termo:
\int_{-y}^{0}\sqrt{2-y^{2}}\,dx = \sqrt{2-y^{2}}\cdot (0-(-y)) = y\sqrt{2-y^{2}}.
Para o segundo termo:
\int_{-\sqrt{2-y^{2}}}^{0}\sqrt{2-y^{2}}\,dx = \sqrt{2-y^{2}}\cdot \bigl(0-(-\sqrt{2-y^{2}})\bigr) = \bigl(\sqrt{2-y^{2}}\bigr)^{2}=2-y^{2}.
Logo a integral total vira
I=\int_{0}^{1} y\sqrt{2-y^{2}}\,dy + \int_{1}^{\sqrt{2}} (2-y^{2})\,dy.

Passo 9

Calcular a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{1} y\sqrt{2-y^{2}}\,dy.
Usamos a substituição clássica para integrais do tipo y\sqrt{a-y^{2}}: ponha
u=2-y^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=-\frac{1}{2}du.
Quando y=0, u=2. Quando y=1, u=1. Então
I_{1}=\int_{u=2}^{1}\sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\right)du =\frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{1/2}\,du.
Agora integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Assim
I_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 10

Calcular a segunda integral
I_{2}=\int_{1}^{\sqrt{2}}(2-y^{2})\,dy.
Integramos termo a termo:
\int(2-y^{2})dy=2y-\frac{y^{3}}{3}.
Avaliaremos de 1 a \sqrt{2}:
I_{2}=\left(2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}\right)-\left(2-\frac{1^{3}}{3}\right).
Como (\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}, isso vira
I_{2}=2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}-\left(2-\frac{1}{3}\right) =2\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{5}{3} =\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{5}{3}.

Passo 11

Somar I_{1} e I_{2}:
I=I_{1}+I_{2} =\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)+\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{5}{3}\right).
Juntando termos sobre o denominador comum 3:
I=\frac{1}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1+4\sqrt{2}-5\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(6\sqrt{2}-6\bigr).
Fatorando 6:
I=\frac{6}{3}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)=2\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)=2\sqrt{2}-2.

Resposta

2\sqrt{2}-2

Exercícios relacionados