Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
.
Informações dadas: a expressão é uma função racional, com numerador e denominador
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando cresce em módulo no sentido negativo (
vai para
)?
Informações dadas: a expressão é uma função racional, com numerador
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): para limites quando
Por que isso funciona? Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pela maior potência de
). Vou mostrar esse procedimento passo a passo.]
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Escrevo a fração como:
Passo 4
Agora tomo o limite termo a termo quando
. Observações básicas sobre essas frações:
Assim, ao substituir esses limites na expressão do passo anterior obtemos
Importante: o denominador tende para
, que não é zero, então a substituição é válida e nos dá o valor do limite.
Passo 5
Para entender a maneira pela qual o limite se aproxima de
(pela direita ou pela esquerda), fazemos uma análise do sinal para
muito negativo. Para
grande e
:
-
. Como domina, (um termo quadrático positivo domina o termo linear negativo quando é grande). -
tem o termo dominante; para esse termo é negativo, logo o denominador é negativo para muito negativo.
Portanto a fração é negativa parasuficientemente negativo, e a quantidade tende a por valores negativos. Em notação, o limite é (tende a pela esquerda), mas o valor do limite é .
Passo 6
Verificação rápida alternativa (intuição por termos principais): para
grande,
e
quando
(especificamente tende a
por valores negativos), o que confirma o resultado anterior.
Resposta
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