Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{t \rightarrow-} \frac{3 t^{2}+t}{t^{3}-4 t+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \lim_{t\to -\infty} \dfrac{3t^{2}+t}{t^{3}-4t+1}.
Informações dadas: a expressão é uma função racional, com numerador \;3t^{2}+t\; e denominador \;t^{3}-4t+1\;.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando t cresce em módulo no sentido negativo ( t vai para -\infty)?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para limites quando t\to\pm\infty\) de frações racionais, comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador. Resultado útil e fácil de justificar: \[\begin{cases} \text{se o grau do numerador} < \text{grau do denominador} &\Rightarrow \text{limite }=0,\\[6pt] \text{se os graus são iguais} &\Rightarrow \text{limite }=\dfrac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}},\\[6pt] \text{se o grau do numerador} > \text{grau do denominador} &\Rightarrow \text{limite tende a } \pm\infty. \end{cases}
Por que isso funciona? Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pela maior potência de t\] que aparece (a do termo de maior grau no denominador, aqui \(t^{3}). Vou mostrar esse procedimento passo a passo.]

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por t^{3}. Escrevo a fração como:
\frac{3t^{2}+t}{t^{3}-4t+1} = \frac{\dfrac{3t^{2}+t}{t^{3}}}{\dfrac{t^{3}-4t+1}{t^{3}}} = \frac{\dfrac{3}{t}+\dfrac{1}{t^{2}}}{1-\dfrac{4}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{3}}}.

Passo 4

Agora tomo o limite termo a termo quando t\to -\infty. Observações básicas sobre essas frações:
\lim_{t\to -\infty}\dfrac{3}{t}=0,\qquad \lim_{t\to -\infty}\dfrac{1}{t^{2}}=0,\qquad \lim_{t\to -\infty}\dfrac{4}{t^{2}}=0,\qquad \lim_{t\to -\infty}\dfrac{1}{t^{3}}=0.
Assim, ao substituir esses limites na expressão do passo anterior obtemos
\lim_{t\to -\infty}\frac{\dfrac{3}{t}+\dfrac{1}{t^{2}}}{1-\dfrac{4}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{3}}} = \frac{0+0}{1-0+0} =0.
Importante: o denominador tende para 1, que não é zero, então a substituição é válida e nos dá o valor do limite.

Passo 5

Para entender a maneira pela qual o limite se aproxima de 0 (pela direita ou pela esquerda), fazemos uma análise do sinal para t muito negativo. Para |t| grande e t<0:
  • 3t^{2}+t = t(3t+1). Como t^{2} domina, 3t^{2}+t>0 (um termo quadrático positivo domina o termo linear negativo quando |t| é grande).
  • t^{3}-4t+1 tem o termo t^{3} dominante; para t\to -\infty esse termo é negativo, logo o denominador é negativo para t muito negativo.
    Portanto a fração é negativa para t suficientemente negativo, e a quantidade tende a 0 por valores negativos. Em notação, o limite é 0^{-} (tende a 0 pela esquerda), mas o valor do limite é 0.

Passo 6

Verificação rápida alternativa (intuição por termos principais): para |t| grande,
\frac{3t^{2}+t}{t^{3}-4t+1}\approx\frac{3t^{2}}{t^{3}}=\frac{3}{t},
e \dfrac{3}{t}\to 0 quando t\to -\infty (especificamente tende a 0 por valores negativos), o que confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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