Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
se aproxima de um ponto indicado por um traço após a seta:
Vou interpretar o traço como
(isto é, o enunciado quer
). As informações dadas são:
Observação importante que já podemos anotar: ambos numerador e denominador são polinômios de grau
(o maior expoente é
).
Passo 2
Estratégia (explicando a ideia passo a passo, como fazer na prova):
Quando temos um limite de uma razão de polinômios quando , o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica padrão é fatorar
(o maior grau) de numerador e denominador e simplificar. Isso reduz o problema a ver o que sobra ao dividir todos os termos por
.
Quando temos um limite de uma razão de polinômios quando
Passo 3
Fatoramos
no numerador e no denominador (escrevo as contas explicitamente):
Passo 4
Cancelamos
(válido para
, e no limite
não há problema) e obtemos:
Passo 5
Agora analisamos o comportamento das frações quando
:
Esses limites são
independentemente do sinal de
, porque os seus valores absolutos tendem a zero. Portanto, substituindo esses termos por
na expressão simplificada, obtemos
Passo 6
Interpretação curta e dica para a prova: como os dois polinômios têm o mesmo grau (
), o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
sobre
). Exemplo rápido para treinar:
.