Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow-} \frac{3 x^{3}-8 x+2}{4 x^{3}-5 x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x se aproxima de um ponto indicado por um traço após a seta:
\lim_{x\rightarrow -}\frac{3x^{3}-8x+2}{4x^{3}-5x^{2}-2}.
Vou interpretar o traço como -\infty (isto é, o enunciado quer \lim_{x\to -\infty}). As informações dadas são:
\text{numerador }=3x^{3}-8x+2, \qquad \text{denominador }=4x^{3}-5x^{2}-2.
Observação importante que já podemos anotar: ambos numerador e denominador são polinômios de grau 3 (o maior expoente é 3).

Passo 2

Estratégia (explicando a ideia passo a passo, como fazer na prova):
Quando temos um limite de uma razão de polinômios quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Uma técnica padrão é fatorar x^{3} (o maior grau) de numerador e denominador e simplificar. Isso reduz o problema a ver o que sobra ao dividir todos os termos por x^{3}.

Passo 3

Fatoramos x^{3} no numerador e no denominador (escrevo as contas explicitamente):
3x^{3}-8x+2 = x^{3}\!\left(3 - \frac{8}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}\right),
4x^{3}-5x^{2}-2 = x^{3}\!\left(4 - \frac{5}{x} - \frac{2}{x^{3}}\right).

Passo 4

Cancelamos x^{3} (válido para x\neq 0, e no limite x\to -\infty não há problema) e obtemos:
\frac{3x^{3}-8x+2}{4x^{3}-5x^{2}-2} = \frac{3 - \dfrac{8}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}}}{4 - \dfrac{5}{x} - \dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento das frações quando x\to -\infty:
\frac{1}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Esses limites são 0 independentemente do sinal de x, porque os seus valores absolutos tendem a zero. Portanto, substituindo esses termos por 0 na expressão simplificada, obtemos
\lim_{x\to -\infty}\frac{3 - \dfrac{8}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}}}{4 - \dfrac{5}{x} - \dfrac{2}{x^{3}}} = \frac{3-0+0}{4-0-0}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Interpretação curta e dica para a prova: como os dois polinômios têm o mesmo grau ( 3), o limite quando x\to\pm\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 3 sobre 4). Exemplo rápido para treinar: \lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{5x^{2}-3}=\dfrac{2}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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