Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{t \rightarrow-} \frac{6 t^{2}+t-5}{9-2 t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to -\infty} \frac{6t^{2}+t-5}{9-2t^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios em \,t.
  • O valor a que \,t se aproxima é -\infty (ou seja, t fica muito negativo).
  • Queremos saber se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): quando \,t tende a \pm\infty numa razão de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Uma maneira rigorosa e prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de \,t presente (aqui \,t^{2}), e então analisar os termos que ficam com 1/t e 1/t^{2}, que tendem a zero. Vou mostrar isso passo a passo para que você consiga repetir na prova.

Passo 3

Reescrevemos a expressão dividindo numerador e denominador por \,t^{2}. Primeiro fatoramos \,t^{2}:
\frac{6t^{2}+t-5}{9-2t^{2}} = \frac{t^{2}\!\left(6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}\right)}{t^{2}\!\left(\dfrac{9}{t^{2}}-2\right)}.

Passo 4

Cancelamos o fator comum \,t^{2} (isso é válido porque para t\neq 0 o fator é não nulo; ao tratar limites para t\to\pm\infty podemos considerar t\neq0):
\frac{6t^{2}+t-5}{9-2t^{2}} = \frac{6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{9}{t^{2}}-2}.

Passo 5

Agora analisamos cada termo quando \,t\to -\infty:
  • \displaystyle \frac{1}{t}\to 0, porque dividir 1 por um número cuja magnitude cresce sem limite dá zero;
  • \displaystyle \frac{1}{t^{2}}\to 0, e note que \frac{1}{t^{2}} é sempre não negativo e tende a zero igualmente;
  • portanto o numerador 6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}} tende para 6+0-0=6;
  • o denominador \dfrac{9}{t^{2}}-2 tende para 0-2=-2.
Assim o limite da razão é o quociente dos limites:
\lim_{t\to -\infty}\frac{6+\dfrac{1}{t}-\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{9}{t^{2}}-2} = \frac{6}{-2}.

Passo 6

Calculando a divisão obtemos
\frac{6}{-2} = -3.
Podemos comentar rapidamente: outra forma rápida é notar que os termos de maior grau são 6t^{2} no numerador e -2t^{2} no denominador, e a razão desses coeficientes é \dfrac{6}{-2}=-3, chegando ao mesmo resultado.

Resposta

-3

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