Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios em
. - O valor a que
se aproxima é (ou seja, fica muito negativo). - Queremos saber se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): quando
tende a
numa razão de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Uma maneira rigorosa e prática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
), e então analisar os termos que ficam com
e
, que tendem a zero. Vou mostrar isso passo a passo para que você consiga repetir na prova.
Passo 3
Reescrevemos a expressão dividindo numerador e denominador por
. Primeiro fatoramos
:
Passo 4
Cancelamos o fator comum
(isso é válido porque para
o fator é não nulo; ao tratar limites para
podemos considerar
):
Passo 5
Agora analisamos cada termo quando
:
-
, porque dividir 1 por um número cuja magnitude cresce sem limite dá zero; -
, e note que é sempre não negativo e tende a zero igualmente; - portanto o numerador
tende para ; - o denominador
tende para .
Assim o limite da razão é o quociente dos limites:
Passo 6
Calculando a divisão obtemos
Podemos comentar rapidamente: outra forma rápida é notar que os termos de maior grau são
no numerador e
no denominador, e a razão desses coeficientes é
, chegando ao mesmo resultado.