Derive.
(y=\frac{t \operatorname{sen} t}{1+t})
(y=\frac{t \operatorname{sen} t}{1+t})
Passo 1
Enunciado: derivar a função
.
Informações dadas: a variável independente é e a função é uma razão entre o numerador
e o denominador
.
Pedido: calcular a derivada .
Informações dadas: a variável independente é
Pedido: calcular a derivada
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas como se fosse aula rápida):
Aqui uso a notação
em TeX — em português
equivale a
.
Produto de duas funções
e
: a regra do produto é
onde
e
. Cada símbolo significa:
e
são as duas funções que estão sendo multiplicadas;
é a derivada de
;
é a derivada de
.
Quociente de duas funções
e
: a regra do quociente é
onde
. Aqui
é o numerador,
é o denominador,
e
suas derivadas.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Identifico numerador e denominador:
Primeiro calculemos
. Como
é produto de
e
, aplico a regra do produto. Defino
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora a derivada do denominador
é imediata:
Passo 5
Aplico a regra do quociente:
Substituindo
que já calculamos:
Passo 6
Agora expandimos o numerador e simplificamos passo a passo:
Repare que
e
se cancelam. Então sobra:
Fatorando um pouco para ficar mais compacto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do quociente obtemos a forma simplificada da derivada:
Essa é uma forma conveniente e bem simplificada da derivada. Dá para deixar também como
são equivalentes.