Derive.
(y=\frac{t \operatorname{sen} t}{1+t})

Passo 1

Enunciado: derivar a função \displaystyle y=\frac{t\,\operatorname{sen} t}{1+t}.
Informações dadas: a variável independente é t e a função é uma razão entre o numerador t\,\operatorname{sen} t e o denominador 1+t.
Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dt}.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas como se fosse aula rápida):
\text{Derivada de } \sin t: \quad \frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t.
Aqui uso a notação \sin em TeX — em português \operatorname{sen} t equivale a \sin t.
Produto de duas funções u(t) e v(t): a regra do produto é
\frac{d}{dt}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dt} e v'=\dfrac{dv}{dt}. Cada símbolo significa: u e v são as duas funções que estão sendo multiplicadas; u' é a derivada de u; v' é a derivada de v.
Quociente de duas funções u(t) e v(t): a regra do quociente é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2},
onde v\neq 0. Aqui u é o numerador, v é o denominador, u' e v' suas derivadas.
Vou aplicar essas regras passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Identifico numerador e denominador:
u(t)=t\sin t,\qquad v(t)=1+t.
Primeiro calculemos u'(t). Como u é produto de t e \sin t, aplico a regra do produto. Defino u_1(t)=t e u_2(t)=\sin t. Então
u_1'(t)=\frac{d}{dt}(t)=1,\qquad u_2'(t)=\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t.
Aplicando a regra do produto:
u'(t)=u_1'(t)u_2(t)+u_1(t)u_2'(t)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t=\sin t + t\cos t.

Passo 4

Agora a derivada do denominador v(t)=1+t é imediata:
v'(t)=\frac{d}{dt}(1+t)=0+1=1.

Passo 5

Aplico a regra do quociente:
\frac{dy}{dt}=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^2}.
Substituindo u',u,v',v que já calculamos:
\frac{dy}{dt}=\frac{\big(\sin t + t\cos t\big)(1+t)-\big(t\sin t\big)\cdot 1}{(1+t)^2}.

Passo 6

Agora expandimos o numerador e simplificamos passo a passo:
\begin{aligned} \text{numerador} &=\big(\sin t + t\cos t\big)(1+t)-t\sin t\\[4pt] &=\sin t(1+t)+t\cos t(1+t)-t\sin t\\[4pt] &=\sin t + t\sin t + t\cos t + t^2\cos t - t\sin t. \end{aligned}
Repare que +t\sin t e -t\sin t se cancelam. Então sobra:
\text{numerador}=\sin t + t\cos t + t^2\cos t.
Fatorando um pouco para ficar mais compacto:
\sin t + t\cos t + t^2\cos t=\sin t + t(1+t)\cos t.]

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do quociente obtemos a forma simplificada da derivada:
\frac{dy}{dt}=\frac{\sin t + t(1+t)\cos t}{(1+t)^2}.
Essa é uma forma conveniente e bem simplificada da derivada. Dá para deixar também como
\frac{dy}{dt}=\frac{\sin t + t\cos t + t^2\cos t}{(1+t)^2},
são equivalentes.

Resposta

\frac{dy}{dt}=\frac{\sin t + t(1+t)\cos t}{(1+t)^2}

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