Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\sqrt{x+2}}{x^{3}+8}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{x+2}}{x^3+8}
Isso envolve uma raiz quadrada e um polinômio no denominador. Para resolver, vamos analisar o domínio de \sqrt{x+2} e fatorar x^3+8.

Passo 2

Como \sqrt{x+2} só está definido para x+2\ge0, só podemos aproximar x de -2 pela direita. Assim, estudamos \displaystyle \lim_{x\to -2^+}.
Fatoramos o denominador usando soma de cubos:
x^3+8 = (x+2)\bigl(x^2-2x+4\bigr).

Passo 3

Para x>-2, podemos simplificar:
\frac{\sqrt{x+2}}{x^3+8} = \frac{\sqrt{x+2}}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{1}{\sqrt{x+2}\,\bigl(x^2-2x+4\bigr)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite x\to -2^+: \sqrt{x+2}\to0^+
e
x^2-2x+4 \;\longrightarrow\; (-2)^2 -2(-2)+4 = 4+4+4 = 12.
Logo o denominador \sqrt{x+2}\,(x^2-2x+4)\to0^+, fazendo
\frac{1}{\sqrt{x+2}\,(x^2-2x+4)} \;\longrightarrow\; +\infty.

Resposta

O limite diverge e vale +\infty.

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