Mostre, utilizando a definição precisa de limite, que:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição precisa de limite, que
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
O conteúdo envolvido é a definição de limite de função quando o valor da função cresce sem limite superior.

Passo 2

A definição de \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty é:
para todo número M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então f(x)>M.

Passo 3

No nosso caso, f(x)=1/x. Dado um M>0, queremos garantir
\frac{1}{x}>M.
Essa desigualdade é equivalente a
x<\frac{1}{M}.
Portanto, basta escolher
\delta=\frac{1}{M}.

Passo 4

De fato, se 0<x<\delta, então x<1/M e assim
\frac{1}{x}>M.
Isso mostra que, para todo M>0, existe \delta=1/M que faz 1/x>M sempre que 0<x<\delta. Logo, a definição de limite ao infinito está satisfeita.

Resposta

Concluímos que
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.

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