Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Bigr)
ou seja, a expressão envolve valor absoluto, então precisamos analisar as aproximações de x a zero pela direita e pela esquerda (limites laterais).

Passo 2

Para x>0 temos |x|=x. Logo a expressão fica
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|} \;=\;\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.
Portanto
\lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Bigr)=0.

Passo 3

Para x<0 temos |x|=-x. Nesse caso
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|} \;=\;\frac{1}{x}-\frac{1}{-x} =\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Como x\to0^-, o quociente \tfrac{2}{x} tende a -\infty. Assim
\lim_{x\to0^-}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\Bigr)=-\infty.

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( 0 pela direita e -\infty pela esquerda), então o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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