Encontre o limite das seguintes funções:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1}{x^{2}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1}{x^{2}+y^{4}}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, em vez de convergir a um valor finito, vamos ver que a expressão “explode” para +\infty.

Passo 2

Observe que, para (x,y)\neq(0,0), o denominador x^2+y^4>0, logo a fração é sempre positiva. Quando nos aproximamos de (0,0), ambos x^2 e y^4 tendem a zero, fazendo o quociente crescer sem parar.

Passo 3

Para deixar isso formal, seja \delta\in(0,1) e considere um ponto com
\sqrt{x^2+y^2}<\delta.
Então |y|<\delta<1 implica
y^4 \le y^2.
Logo
x^2 + y^4 \;\le\; x^2 + y^2 \;=\; r^2,
onde r=\sqrt{x^2+y^2}. Portanto
\frac{1}{x^2+y^4} \;\ge\; \frac{1}{r^2}.
Como r\to0 faz \tfrac1{r^2}\to+\infty, concluímos que a nossa função também vai para +\infty.

Passo 4

Na definição de limite infinito, para qualquer M>0 basta escolher
\delta = 1/\sqrt{M}.
Se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então
\frac{1}{x^2+y^4}\ge\frac{1}{r^2}>\!M.
Isso mostra que não há valor finito de limite: a função diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados