Encontre o limite usando, se possível, a regra de L’Hospital. Caso não seja possível, explique:
lim x 0(1+ax)^b x .

Passo 1

O enunciado pede
limx to 0l(1+axr)^b,x,
que é um caso clássico de indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e, em seguida, a regra de L’Hospital. Precisamos também atentar para onde a expressão está bem definida (isto é, onde 1+tfracax>0).

Passo 2

Definimos
y = l(1+axr)^b,x
Tomando logaritmo natural, fica
ln y = b,x,ln!l(1+axr)
Agora nosso objetivo é calcular
limxto 0ln y e depois voltar ao y.

Passo 3

Note que limxto0b,x,ln!l(1+tfracaxr) é da forma 0cdotinfty. Para usar L’Hospital, reescrevemos como quociente:
b,x,ln!l(1+axr) = ln!l(1+tfracaxr)tfrac1b,x
Agora temos infty/infty ao nos aproximarmos de 0 pelo lado em que a base é positiva.

Passo 4

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador:
    ddxl[lnl(1+tfracaxr)r] = -,a/x^2,1 + a/x, = -ax^2 + a,x
  • Denominador:
    ddxl[tfrac1b,xr] = -1b,x^2
Assim, o limite vira
limxto0 -ax^2 + a,x -1b,x^2 = limxto0 ax^2 + a,x,l(b,x^2r) = limxto0 b,a,x^2x(x+a) = limxto0 b,a,xx+a =0
Logo
limxto0ln y = 0

Passo 5

Se limxto0ln y = 0, então
limxto0y = e^0 = 1
Portanto
limxto 0l(1+axr)^b,x = 1,
desde que a expressão esteja bem definida em torno de 0.

Resposta

1

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