Encontre o limite usando, se possível, a regra de L’Hospital. Caso não seja possível, explique:
.
Passo 1
O enunciado pede
que é um caso clássico de indeterminação do tipo
. Para resolver, vamos usar logaritmo e, em seguida, a regra de L’Hospital. Precisamos também atentar para onde a expressão está bem definida (isto é, onde
).
Passo 2
Definimos
Tomando logaritmo natural, fica
Agora nosso objetivo é calcular
e depois voltar ao
.
Passo 3
Note que
é da forma
. Para usar L’Hospital, reescrevemos como quociente:
Agora temos
ao nos aproximarmos de
pelo lado em que a base é positiva.
Passo 4
Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
-
Numerador:
-
Denominador:
Assim, o limite vira
Logo
Passo 5
Se
, então
Portanto
desde que a expressão esteja bem definida em torno de
.