Esboce o gráfico das funções a seguir.
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Conteúdo: estudo de uma cúbica por derivadas (para extremos e monotonia), derivada segunda (para inflexão), interceptos e comportamento nas bordas.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira
e achamos os pontos críticos resolvendo
Agora avaliamos
nesses pontos:
Passo 3
Estudamos o sinal de
:
para temos
(crescente) e para
temos
(decrescente).
Logo
– em há um máximo local
,
– em há um mínimo local
.
para
Logo
– em
– em
Passo 4
Derivada segunda para inflexão:
Sendo
em
, o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Interceptos:
– intercepto em -axis:
, já usado no ponto de inflexão.
– interceptos em -axis resolvendo
. Observa-se que
é raiz simples e
é raiz dupla (por fatoração ou teste direto). Assim os zeros são
– intercepto em
– interceptos em
Passo 6
Comportamento nas extremidades:
Ou seja, a cúbica sobe para a direita e desce para a esquerda.
Resposta
O esboço deve apresentar:
– subida vindo de até cruzar o eixo
em
,
– continuar subindo até o máximo local em ,
– decrescer passando pelo ponto de inflexão em e atingir o mínimo local em
(tangente ao eixo
),
– em seguida subir de novo para .
– subida vindo de
– continuar subindo até o máximo local em
– decrescer passando pelo ponto de inflexão em
– em seguida subir de novo para