Esboce o gráfico das funções a seguir.
g(x)=4 x^3-3 x+1;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
g(x)=4x^3-3x+1
Conteúdo: estudo de uma cúbica por derivadas (para extremos e monotonia), derivada segunda (para inflexão), interceptos e comportamento nas bordas.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
g'(x)=ddxl(4x^3-3x+1r)=12x^2-3
e achamos os pontos críticos resolvendo
12x^2-3=0Longrightarrow x^2=14Longrightarrow x=pm12
Agora avaliamos g nesses pontos:
gl(tfrac12r)=4cdotl(tfrac12r)^3-3cdottfrac12+1 =tfrac12- tfrac32+1=0,
gl(-tfrac12r)=4cdotl(-tfrac12r)^3-3cdotl(-tfrac12r)+1 =-tfrac12+tfrac32+1=2

Passo 3

Estudamos o sinal de g'(x):
para lvert xrvert> tfrac12 temos g'(x)>0 (crescente) e para lvert xrvert<tfrac12 temos g'(x)<0 (decrescente).
Logo
– em x=-tfrac12 há um máximo local g(-tfrac12)=2,
– em x=+tfrac12 há um mínimo local g(tfrac12)=0.

Passo 4

Derivada segunda para inflexão:
g''(x)=ddx(12x^2-3)=24x
Sendo g''(x)=0 em x=0, o ponto de inflexão é
l(0,g(0)r)=(0,1).

Passo 5

Interceptos:
– intercepto em y-axis: g(0)=1, já usado no ponto de inflexão.
– interceptos em x-axis resolvendo g(x)=0. Observa-se que x=-1 é raiz simples e x=tfrac12 é raiz dupla (por fatoração ou teste direto). Assim os zeros são
(-1,0)el(tfrac12,0r) (tangência) ê

Passo 6

Comportamento nas extremidades:
limxto-inftyg(x)=-infty, limxto+inftyg(x)=+infty
Ou seja, a cúbica sobe para a direita e desce para a esquerda.

Resposta

O esboço deve apresentar:
– subida vindo de -infty até cruzar o eixo x em (-1,0),
– continuar subindo até o máximo local em l(-tfrac12,2r),
– decrescer passando pelo ponto de inflexão em (0,1) e atingir o mínimo local em l(tfrac12,0r) (tangente ao eixo x),
– em seguida subir de novo para +infty.

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