Esboce o gráfico das funções a seguir.
f(x)=-4 x^2+4 x-1;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função quadrática f(x)=-4x^2+4x-1 e queremos esboçar seu gráfico. Para isso, precisamos identificar a concavidade (sinal de a), o vértice (fórmula de xv e yv), o eixo de simetria e os interceptos com os eixos.

Passo 2

Para achar o vértice, usamos a fórmula da abscissa
xv = -b2a,
onde a=-4 e b=4. Logo,
xv = -42cdot(-4) = 12
A ordenada do vértice é yv = f(xv). Calculando,
yv = -4l(tfrac12r)^2 + 4l(tfrac12r) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0
Portanto, o vértice fica em l(tfrac12,0r).

Passo 3

Intercepto com o eixo y em x=0:
f(0) = -1,
logo o ponto (0,-1).
Para os interceptos com o eixo x, resolvemos
-4x^2 + 4x - 1 = 0
O discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot(-4)cdot(-1) = 16 - 16 = 0
Como De<a=0, há raiz dupla
x = -42cdot(-4) = 12,
logo a parábola toca o eixo x apenas em l(tfrac12,0r).

Passo 4

Agora, para esboçar: como a=-4<0, a parábola abre para baixo. O eixo de simetria é x=tfrac12 e o vértice é l(tfrac12,0r). Além de (0,-1), por simetria, em x=1 temos
f(1) = -4 + 4 - 1 = -1,
formando o ponto (1,-1). À medida que xtopminfty, f(x)to -infty. Basta então ligar suavemente esses pontos, obtendo a parábola desejada.

Resposta

O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo, eixo de simetria x=tfrac12, vértice em l(tfrac12,0r), intercepto em y em (0,-1) e que toca o eixo x apenas no vértice.

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