Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
. Quando , tem-se . - O denominador é
. Quando , tem-se . - Portanto a forma do quociente é do tipo
, que é uma forma indeterminada apropriada para considerar a Regra de l’Hôpital (desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas).
Passo 2
Relembrando a Regra de l’Hôpital (de forma simples e prática): se
(ou ambos 0) e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) com
aí, sempre que o limite
existir ou seja
, vale
No nosso caso com
, as funções envolvidas são diferenciáveis para todo
real, portanto as hipóteses locais estão satisfeitas e podemos aplicar a regra enquanto a forma continuar indeterminada.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital pela primeira vez. Precisamos das derivadas:
- Derivada de
: usar a regra da cadeia. Se e , então . Aqui . Logo
- Derivada de
:
Aplicando l’Hôpital:
A forma ainda é
, então podemos continuar.
Passo 4
Segunda aplicação da Regra de l’Hôpital. Derivadas agora do numerador
multiplicado por constante e do denominador
:
- Derivada de
já sabemos: . Multiplicando a constante que estava fora, obtemos a derivada completa do numerador efetivo, mas é mais simples derivar a forma simplificada:
Logo, aplicando l’Hôpital de novo:
Ainda estamos em
.
Passo 5
Terceira aplicação da Regra de l’Hôpital. Derivadas:
Aplicando l’Hôpital pela terceira vez:
Agora o denominador é a constante
e o numerador tende a
, portanto este limite é claramente
.
Passo 6
Interpretação final e resumo didático: após três aplicações de l’Hôpital reduzimos o problema a
que diverge para
porque
quando
. Assim o quociente original também diverge para
.
Comentário intuitivo extra (útil para prova): exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Formalmente, para qualquer inteiro
positivo,
No nosso caso há uma constante de escala no argumento da exponencial (
), mas isso não muda o fato de a exponencial dominar o polinômio; apenas muda a constante multiplicativa quando aplicamos derivadas repetidas.