Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{u \rightarrow \infty} \frac{e^{u / 10}}{u^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{u^{3}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é e^{u/10}. Quando u\to\infty, tem-se e^{u/10}\to\infty.
  • O denominador é u^{3}. Quando u\to\infty, tem-se u^{3}\to\infty.
  • Portanto a forma do quociente é do tipo \infty/\infty, que é uma forma indeterminada apropriada para considerar a Regra de l’Hôpital (desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas).

Passo 2

Relembrando a Regra de l’Hôpital (de forma simples e prática): se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambos 0) e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) com g'(x)\neq0 aí, sempre que o limite \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} existir ou seja \pm\infty, vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso com u\to\infty, as funções envolvidas são diferenciáveis para todo u real, portanto as hipóteses locais estão satisfeitas e podemos aplicar a regra enquanto a forma continuar indeterminada.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de l’Hôpital pela primeira vez. Precisamos das derivadas:
  • Derivada de e^{u/10}: usar a regra da cadeia. Se h(u)=e^{u/10} e k(u)=u/10, então h'(u)=k'(u)e^{k(u)}. Aqui k'(u)=1/10. Logo
\frac{d}{du}\big(e^{u/10}\big)=\frac{1}{10}e^{u/10}.
  • Derivada de u^{3}:
\frac{d}{du}\big(u^{3}\big)=3u^{2}.
Aplicando l’Hôpital:
\lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{u^{3}} = \lim_{u\to\infty}\frac{\frac{1}{10}e^{u/10}}{3u^{2}} = \lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{30u^{2}}.
A forma ainda é \infty/\infty, então podemos continuar.

Passo 4

Segunda aplicação da Regra de l’Hôpital. Derivadas agora do numerador e^{u/10} multiplicado por constante e do denominador 30u^{2}:
  • Derivada de e^{u/10} já sabemos: \frac{1}{10}e^{u/10}. Multiplicando a constante \tfrac{1}{30} que estava fora, obtemos a derivada completa do numerador efetivo, mas é mais simples derivar a forma simplificada:
\frac{d}{du}\big(e^{u/10}\big)=\frac{1}{10}e^{u/10}.
\frac{d}{du}\big(30u^{2}\big)=60u.
Logo, aplicando l’Hôpital de novo:
\lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{30u^{2}} = \lim_{u\to\infty}\frac{\frac{1}{10}e^{u/10}}{60u} = \lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{600u}.
Ainda estamos em \infty/\infty.

Passo 5

Terceira aplicação da Regra de l’Hôpital. Derivadas:
\frac{d}{du}\big(e^{u/10}\big)=\frac{1}{10}e^{u/10}, \qquad \frac{d}{du}\big(600u\big)=600.
Aplicando l’Hôpital pela terceira vez:
\lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{600u} = \lim_{u\to\infty}\frac{\frac{1}{10}e^{u/10}}{600} = \lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{6000}.
Agora o denominador é a constante 6000 e o numerador tende a \infty, portanto este limite é claramente \infty.

Passo 6

Interpretação final e resumo didático: após três aplicações de l’Hôpital reduzimos o problema a
\lim_{u\to\infty}\frac{e^{u/10}}{6000},
que diverge para \infty porque e^{u/10}\to\infty quando u\to\infty. Assim o quociente original também diverge para \infty.
Comentário intuitivo extra (útil para prova): exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios. Formalmente, para qualquer inteiro n positivo,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=\infty.
No nosso caso há uma constante de escala no argumento da exponencial ( u/10), mas isso não muda o fato de a exponencial dominar o polinômio; apenas muda a constante multiplicativa quando aplicamos derivadas repetidas.

Resposta

\infty

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