Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador quando x\to 0 tende a e^{0}-1-0=0.
  • O denominador quando x\to 0 tende a 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, o que abre a possibilidade de usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Breve aula sobre a Regra de L’Hôpital (sem complicar): Se f e g são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambos tendem a \pm\infty, e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=e^{x}-1-x e g(x)=x^{2}. Ambas são diferenciáveis em toda parte, e já vimos que f(0)=g(0)=0, logo podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez: calculo das derivadas.
  • f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1-x\bigr)=e^{x}-1.
  • g'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Pelo enunciado da regra,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{2x}.
Verifico a forma dessa nova expressão em x=0: o numerador tende a e^{0}-1=0 e o denominador tende a 0, então ainda é 0/0. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez: derivadas da nova razão.
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1\bigr)=e^{x}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
Assim
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{2}=\frac{e^{0}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto, pelo uso sucessivo de L’Hôpital, o limite pedido é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Método alternativo (mais elementar pelo uso de série/Taylor): lembrar o desenvolvimento de Maclaurin de e^{x}:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\quad\text{quando }x\to 0,
onde o(x^{2}) significa termos que, divididos por x^{2}, vão para 0 quando x\to 0. Substituindo no numerador:
e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Dividindo por x^{2} obtemos
\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{o(x^{2})}{x^{2}}\longrightarrow \frac{1}{2}
quando x\to 0. Isso confirma o resultado anterior de forma mais direta.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: tanto pelo procedimento padrão de L’Hôpital (duas aplicações) quanto pela expansão em série chegamos ao mesmo resultado. Ótimo trabalho: esse tipo de limite aparece muito em provas; a técnica é reconhecer a forma 0/0, derivar quando apropriado e, se quiser um caminho mais rápido, lembrar o termo quadrático da série de e^{x}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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