Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador quando
tende a . - O denominador quando
tende a . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, o que abre a possibilidade de usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Breve aula sobre a Regra de L’Hôpital (sem complicar): Se
e
são funções diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e se
ou ambos tendem a
, e se o limite
existe (ou é
), então
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis em toda parte, e já vimos que
, logo podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez: calculo das derivadas.
Pelo enunciado da regra,
Verifico a forma dessa nova expressão em
: o numerador tende a
e o denominador tende a
, então ainda é
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez: derivadas da nova razão.
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Assim
Portanto, pelo uso sucessivo de L’Hôpital, o limite pedido é
.
Passo 5
Método alternativo (mais elementar pelo uso de série/Taylor): lembrar o desenvolvimento de Maclaurin de
:
onde
significa termos que, divididos por
, vão para
quando
. Substituindo no numerador:
Dividindo por
obtemos
quando
. Isso confirma o resultado anterior de forma mais direta.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: tanto pelo procedimento padrão de L’Hôpital (duas aplicações) quanto pela expansão em série chegamos ao mesmo resultado. Ótimo trabalho: esse tipo de limite aparece muito em provas; a técnica é reconhecer a forma
, derivar quando apropriado e, se quiser um caminho mais rápido, lembrar o termo quadrático da série de
.