Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
Pergunta: determinar o valor do limite quandotende a .
Passo 2
Observação sobre a forma do limite: ao avaliar diretamente, a base tende a
porque
, e o expoente tende a
ou a
? Como
não existe finito (tende a
pela direita e a
pela esquerda), mas o que interessa é a combinação. A expressão tem a típica forma do tipo
, que é uma forma indeterminada. Nesses casos é conveniente trabalhar com o logaritmo natural para transformar potência em produto e reduzir a indeterminação.
Passo 3
Defino
(nota mental: é apenas para facilitar). Tomando ln dos dois lados:
Portanto
Se conseguirmos esse limite, o limite original será
desse valor, isto é
, desde que o limite de
exista (ou seja
).
Passo 4
Analisando a nova expressão
: ao levar
temos
e
. Logo é uma forma
. Isso autoriza o uso da Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de
, o que ocorre aqui, pois
é diferenciável próximo de
exceto no ponto onde
, mas esse ponto está em
, distante de
). Portanto podemos aplicar L’Hôpital diferenciando numerador e denominador e reavaliando o limite.
Passo 5
Calculo as derivadas:
- Derivada do numerador
em relação a é, por regra da cadeia,
- Derivada do denominador
é .
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 6
Avalio o limite da expressão resultante:
Logo
.
Passo 7
Voltando ao valor de
: como
, temos
Explicação alternativa rápida (sem L’Hôpital): usar a expansão
para
. Aqui
, então
e
, chegando ao mesmo resultado.
Passo 8
Conclusão final: o limite existe e é
. Força aí nos estudos — é esse tipo de limite padrão que costuma cair bastante, faz um esquema mental: transformar com ln e aplicar L’Hôpital ou expansão linear de ln.