Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}(1-2x)^{1/x}.
Informações dadas:
  • A função é (1-2x)^{1/x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    Pergunta: determinar o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Observação sobre a forma do limite: ao avaliar diretamente, a base tende a 1 porque \lim_{x\to 0}(1-2x)=1, e o expoente tende a +\infty ou a \pm\infty? Como \lim_{x\to0}1/x não existe finito (tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda), mas o que interessa é a combinação. A expressão tem a típica forma do tipo 1^{\infty}, que é uma forma indeterminada. Nesses casos é conveniente trabalhar com o logaritmo natural para transformar potência em produto e reduzir a indeterminação.

Passo 3

Defino y=(1-2x)^{1/x} (nota mental: é apenas para facilitar). Tomando ln dos dois lados:
\ln y=\frac{1}{x}\ln(1-2x).
Portanto
\lim_{x\to 0}\ln y=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)}{x}.
Se conseguirmos esse limite, o limite original será \exp desse valor, isto é \lim_{x\to0}y=\exp\big(\lim_{x\to0}\ln y\big), desde que o limite de \ln y exista (ou seja \pm\infty).

Passo 4

Analisando a nova expressão \dfrac{\ln(1-2x)}{x}: ao levar x\to0 temos \ln(1-2x)\to\ln 1=0 e x\to0. Logo é uma forma 0/0. Isso autoriza o uso da Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam num entorno de 0, o que ocorre aqui, pois \ln(1-2x) é diferenciável próximo de 0 exceto no ponto onde 1-2x=0, mas esse ponto está em x=1/2, distante de 0). Portanto podemos aplicar L’Hôpital diferenciando numerador e denominador e reavaliando o limite.

Passo 5

Calculo as derivadas:
  • Derivada do numerador \ln(1-2x) em relação a x é, por regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(1-2x)=\frac{1}{1-2x}\cdot(-2)=-\frac{2}{1-2x}.
  • Derivada do denominador x é 1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)}{x}=\lim_{x\to 0}\left(-\frac{2}{1-2x}\right).

Passo 6

Avalio o limite da expressão resultante:
\lim_{x\to 0}\left(-\frac{2}{1-2x}\right)=-\frac{2}{1-2\cdot 0}=-2.
Logo \lim_{x\to0}\ln y=-2.

Passo 7

Voltando ao valor de y: como \lim_{x\to0}\ln y=-2, temos
\lim_{x\to0}y=\exp\big(\lim_{x\to0}\ln y\big)=e^{-2}.
Explicação alternativa rápida (sem L’Hôpital): usar a expansão \ln(1+u)\sim u para u\to0. Aqui u=-2x, então \ln(1-2x)\sim -2x e \ln y=\dfrac{\ln(1-2x)}{x}\sim \dfrac{-2x}{x}=-2, chegando ao mesmo resultado.

Passo 8

Conclusão final: o limite existe e é e^{-2}. Força aí nos estudos — é esse tipo de limite padrão que costuma cair bastante, faz um esquema mental: transformar com ln e aplicar L’Hôpital ou expansão linear de ln.

Resposta

e^{-2}

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