Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left[\ln \left(x^{7}-1\right)-\ln \left(x^{5}-1\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1^{+}}\left[\ln\left(x^{7}-1\right)-\ln\left(x^{5}-1\right)\right].
Informações relevantes que temos:
  • A expressão é a diferença de dois logaritmos naturais, ou seja, podemos combiná-los como um único logaritmo: \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) quando a>0 e b>0.
  • Para x\to1^{+} temos x^{7}-1\to0^{+} e x^{5}-1\to0^{+}, portanto dentro do logaritmo fica uma forma do tipo \ln\!\left(\dfrac{0^{+}}{0^{+}}\right), que é uma indeterminação. Logo é preciso manipular a razão \dfrac{x^{7}-1}{x^{5}-1} e calcular seu limite antes de aplicar o logaritmo.
  • O logaritmo natural \ln(t) é contínuo para t>0. Assim, se eu conseguir calcular \displaystyle\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x^{7}-1}{x^{5}-1}=L>0, então o limite original será \ln(L).

Passo 2

Reescrevo a diferença de logaritmos como um único logaritmo:
\ln\left(x^{7}-1\right)-\ln\left(x^{5}-1\right)=\ln\!\left(\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1}\right).
Como explicado, vou calcular primeiro
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1},
e depois aplico \ln ao resultado, usando a continuidade de \ln em (0,\infty).

Passo 3

Método elementar (fatoração): usar a fórmula da diferença de potências (série geométrica):
x^{n}-1=(x-1)\bigl(x^{\,n-1}+x^{\,n-2}+\cdots+x+1\bigr).
Aplicando para n=7 e n=5,
x^{7}-1=(x-1)\bigl(x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr),
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
Dividindo as duas expressões (o fator x-1 cancela, válido para x\neq1, e estamos tomando x\to1^{+}),
\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1}=\frac{x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}.
Agora uso que somas de potências são funções contínuas, então ao fazer x\to1^{+} basta substituir x=1 nas somas:
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1} =\frac{1^{6}+1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1}{1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1} =\frac{7}{5}.

Passo 4

Comentário sobre a Regra de L’Hôpital (alternativa): podia-se também aplicar a regra de L’Hôpital diretamente na razão \dfrac{x^{7}-1}{x^{5}-1}, pois temos uma indeterminação 0/0. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(x^{7}-1)=7x^{6},\qquad \frac{d}{dx}(x^{5}-1)=5x^{4}.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1} =\lim_{x\to1^{+}}\frac{7x^{6}}{5x^{4}} =\lim_{x\to1^{+}}\frac{7}{5}x^{2}=\frac{7}{5}.
O resultado coincide com o método elementar mostrado acima. Portanto ambos são válidos; o método elementar (fatoração) é mais rápido aqui.

Passo 5

Retorno ao logaritmo: como a razão tende a \dfrac{7}{5}>0 e \ln é contínua em (0,\infty),
\lim_{x\to1^{+}}\ln\!\left(\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1}\right)=\ln\!\left(\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{7}-1}{x^{5}-1}\right)=\ln\!\left(\frac{7}{5}\right).
Pequena motivação final: não precisa fazer contas complicadas nem expandir além disso — a fatoração ou L’Hôpital leva direto ao resultado. Força aí, você já está quase lá!

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{7}{5}\right)

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