Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que temos:
- A expressão é a diferença de dois logaritmos naturais, ou seja, podemos combiná-los como um único logaritmo:
quando e . - Para
temos e , portanto dentro do logaritmo fica uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Logo é preciso manipular a razão e calcular seu limite antes de aplicar o logaritmo. - O logaritmo natural
é contínuo para . Assim, se eu conseguir calcular , então o limite original será .
Passo 2
Reescrevo a diferença de logaritmos como um único logaritmo:
Como explicado, vou calcular primeiro
e depois aplico
ao resultado, usando a continuidade de
em
.
Passo 3
Método elementar (fatoração): usar a fórmula da diferença de potências (série geométrica):
Aplicando para
e
,
Dividindo as duas expressões (o fator
cancela, válido para
, e estamos tomando
),
Agora uso que somas de potências são funções contínuas, então ao fazer
basta substituir
nas somas:
Passo 4
Comentário sobre a Regra de L’Hôpital (alternativa): podia-se também aplicar a regra de L’Hôpital diretamente na razão
, pois temos uma indeterminação
. Derivando numerador e denominador:
Pela regra de L’Hôpital,
O resultado coincide com o método elementar mostrado acima. Portanto ambos são válidos; o método elementar (fatoração) é mais rápido aqui.
Passo 5
Retorno ao logaritmo: como a razão tende a
e
é contínua em
,
Pequena motivação final: não precisa fazer contas complicadas nem expandir além disso — a fatoração ou L’Hôpital leva direto ao resultado. Força aí, você já está quase lá!