Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}.
  • Aqui a e b são constantes (números reais). O símbolo x tende para +\infty.
  • Observação sobre domínio: para x suficientemente grande a quantidade 1+\dfrac{a}{x} é positiva (porque \dfrac{a}{x}\to0), logo a expressão e o logaritmo natural abaixo serão bem definidos para todo x grande o bastante.
Resumo: queremos o valor numérico do limite em função de a e b.

Passo 2

Estratégia: passar para o logaritmo natural para transformar potência em produto (método padrão).
  • Defina o limite buscado por L, isto é
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}.
  • Se L>0, então é útil calcular \ln L porque
\ln L=\lim_{x\to\infty} \ln\!\left[\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}\right] = \lim_{x\to\infty} b x\; \ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right).
Aqui a troca de limite e logaritmo é legítima quando o limite existe e é positivo; procederemos a obter \ln L e depois exponenciar para recuperar L.

Passo 3

Analisar a forma indeterminada e transformar para aplicar a Regra de L’Hôpital.
  • O termo b x\; \ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right) é do tipo \infty\cdot 0 porque x\to\infty (portanto b x tende a \pm\infty se b\neq0) e \ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)\to\ln 1=0.
  • Para usar a Regra de L’Hôpital convém reescrever esse produto como quociente com forma 0/0 ou \infty/\infty. Uma maneira natural é dividir por 1/x:
b x\; \ln\!\left(1+\frac{a}{x}\right) = b\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{1/x}.
  • Agora, quando x\to\infty temos numerador \ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)\to0 e denominador 1/x\to0. Assim a razão está na forma 0/0, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ao quociente \dfrac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{1/x}.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital calculando as derivadas de numerador e denominador.
  • Derivada do numerador N(x)=\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right):
    Primeiro calcule a derivada interna 1+\dfrac{a}{x}. Tem derivada \dfrac{d}{dx}\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)=-\dfrac{a}{x^{2}}.
    Pela regra da cadeia,
    N'(x)=\frac{1}{1+\dfrac{a}{x}}\cdot\left(-\frac{a}{x^{2}}\right) = -\frac{a}{x^{2}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}.
  • Derivada do denominador D(x)=\dfrac{1}{x} é
    D'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
  • A razão das derivadas é, portanto,
    \frac{N'(x)}{D'(x)} =\frac{-\dfrac{a}{x^{2}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} =\frac{a}{1+\dfrac{a}{x}}.
  • Multiplicando pelo fator b que ficou fora (lembrar que \ln L = b vezes a razão), obtemos
    \ln L = \lim_{x\to\infty} b\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{a}{x}\right)}{1/x} = \lim_{x\to\infty} b\cdot\frac{a}{1+\dfrac{a}{x}}.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão obtida e retornar à forma exponencial.
  • Como \dfrac{a}{x}\to0 quando x\to\infty, tem-se \lim_{x\to\infty} b\cdot\frac{a}{1+\dfrac{a}{x}} = b\cdot\frac{a}{1+0}=ab.
  • Logo \ln L = ab. Exponenciando ambos os lados obtemos L = e^{ab}.

Passo 6

Verificação rápida de casos especiais e comentário sobre método alternativo.
  • Casos óbvios: se b=0 então a expressão é identicamente 1 e e^{ab}=e^{0}=1. Se a=0 a expressão também vale 1 e e^{ab}=1. Essas confirmações batem com a fórmula e^{ab}.
  • Método alternativo elementar (sem L’Hôpital): usar a expansão para pequenos u, \ln(1+u)=u+o(u). Com u=\dfrac{a}{x} obtemos b x\ln(1+\dfrac{a}{x})\approx b x\cdot\dfrac{a}{x}=ab, levando à mesma conclusão \ln L=ab e L=e^{ab}.
  • Observação sobre domínio: para x suficientemente grande a base 1+\dfrac{a}{x} é positiva, então o uso do logaritmo natural acima é válido.

Resposta

e^{ab}

Exercícios relacionados