Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular o limite
. - Aqui
e são constantes (números reais). O símbolo tende para . - Observação sobre domínio: para
suficientemente grande a quantidade é positiva (porque ), logo a expressão e o logaritmo natural abaixo serão bem definidos para todo grande o bastante.
Resumo: queremos o valor numérico do limite em função de
e
.
Passo 2
Estratégia: passar para o logaritmo natural para transformar potência em produto (método padrão).
- Defina o limite buscado por
, isto é
- Se
, então é útil calcular porque
Aqui a troca de limite e logaritmo é legítima quando o limite existe e é positivo; procederemos a obter
e depois exponenciar para recuperar
.
Passo 3
Analisar a forma indeterminada e transformar para aplicar a Regra de L’Hôpital.
- O termo
é do tipo porque (portanto tende a se ) e . - Para usar a Regra de L’Hôpital convém reescrever esse produto como quociente com forma
ou . Uma maneira natural é dividir por :
- Agora, quando
temos numerador e denominador . Assim a razão está na forma , e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ao quociente .
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital calculando as derivadas de numerador e denominador.
-
Derivada do numerador
: Primeiro calcule a derivada interna. Tem derivada . Pela regra da cadeia, -
Derivada do denominador
é -
A razão das derivadas é, portanto,
-
Multiplicando pelo fator
que ficou fora (lembrar que vezes a razão), obtemos
Passo 5
Avaliar o limite da expressão obtida e retornar à forma exponencial.
- Como
quando , tem-se - Logo
. Exponenciando ambos os lados obtemos
Passo 6
Verificação rápida de casos especiais e comentário sobre método alternativo.
- Casos óbvios: se
então a expressão é identicamente e . Se a expressão também vale e . Essas confirmações batem com a fórmula . - Método alternativo elementar (sem L’Hôpital): usar a expansão para pequenos
, . Com obtemos , levando à mesma conclusão e . - Observação sobre domínio: para
suficientemente grande a base é positiva, então o uso do logaritmo natural acima é válido.