Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
lim x 0^+[sec (A x)]^1 /(B x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite usando a regra de L’Hôpital:
lim x 0^+[sec (A x)]^1 /(B x^2)
Esse limite envolve funções trigonométricas e potências, então vamos precisar entender como manipular expressões do tipo e aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Lembre-se que lim x 0^+[1cos(Ax)]^1/(Bx^2) , então podemos reescrever o limite assim:
ln L = lim x 0^+ ln(1cos(Ax))Bx^2 = lim x 0^+ -ln(cos(Ax))Bx^2
Para lidar com potências complicadas, é comum usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de e aplicar o logaritmo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) quando tende a 0. Substituindo , temos uma forma indeterminada , o que justifica usar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se for ou , então:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador: -ddx ln(cos(Ax)) = --sin(Ax) cdot Acos(Ax) = A sin(Ax)cos(Ax) = A tan(Ax)
    Usando a regra da cadeia:
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:
ln L = lim x 0^+ A tan(Ax)2Bx = A2B limx to 0^+ tan(Ax)x
Sabemos que limx to 0^+ tan(Ax)x = A cdot 1 = A , então:
ln L = A2B cdot A = A^22B
Portanto:

Passo 6

Finalmente, para encontrar L = e^ln L = e^A^2/(2B) , basta aplicar a exponencial nos dois lados:

Resposta

O limite é igual a .

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