Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite usando a regra de L’Hôpital:
Esse limite envolve funções trigonométricas e potências, então vamos precisar entender como manipular expressões do tipo
e aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Lembre-se que
, então podemos reescrever o limite assim:
Para lidar com potências complicadas, é comum usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de
e aplicar o logaritmo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende a 0. Substituindo
, temos uma forma indeterminada
, o que justifica usar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se
for
ou
, então:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador:
Usando a regra da cadeia:
- Derivada do denominador:
Passo 5
Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, para encontrar
, basta aplicar a exponencial nos dois lados:
Resposta
O limite é igual a
.