Calcule y^{\prime}.
y=\ln (\cos x)-\frac{1}{2} \operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln(\cos x)-\frac{1}{2}\sin^{2}x
e pede para calcular y^{\prime} (a derivada de y em relação a x). Informações relevantes que temos:
  • A função é composta por duas parcelas: \ln(\cos x) e -\tfrac{1}{2}\sin^{2}x.
  • Para que \ln(\cos x) esteja definida precisamos de \cos x>0; para derivar, também é importante \cos x\neq 0 (não podemos dividir por zero mais adiante).
  • Não há necessidade de outras informações; vamos derivar termo a termo usando regras de derivação.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
Regra da derivada do logaritmo composto:
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u(x) é a função interna. Aqui u(x)=\cos x.
Regra do produto/chain simples para potências:
\frac{d}{dx}\big(v(x)^{2}\big)=2\,v(x)\,v'(x),
ou seja, para v(x)=\sin x temos \frac{d}{dx}\sin^{2}x=2\sin x\cos x porque v'(x)=\cos x.
Derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Também usaremos que constante fator pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).

Passo 3

Derivando a primeira parcela \ln(\cos x) com a regra do logaritmo composto:
Definimos u(x)=\cos x. Então
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\frac{d}{dx}\cos x}{\cos x}.
Como \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, obtemos
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Aqui expliquei: u'(x) é a derivada da função interna u(x); dividimos por u(x) conforme a fórmula do logaritmo.

Passo 4

Derivando a segunda parcela -\tfrac{1}{2}\sin^{2}x:
Aplicamos a constante -\tfrac{1}{2} fora da derivada e a regra da cadeia/potência para \sin^{2}x:
\frac{d}{dx}\sin^{2}x=2\sin x\cdot\cos x.
Logo
\frac{d}{dx}\left(-\tfrac{1}{2}\sin^{2}x\right)=-\tfrac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=-\sin x\cos x.
Expliquei: o 2 vem da derivada de v^{2} e v'=\cos x.

Passo 5

Agora somamos as derivadas das duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas):
y'=\frac{d}{dx}\ln(\cos x)+\frac{d}{dx}\left(-\tfrac{1}{2}\sin^{2}x\right)=-\tan x-(\sin x\cos x).
Podemos deixar a resposta nessa forma ou usar a identidade \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x) para escrever uma forma alternativa:
y'=-\tan x-\tfrac{1}{2}\sin(2x).

Resposta

y'=-\tan x-\sin x\cos x

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