Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
(a derivada de
em relação a
). Informações relevantes que temos:
- A função é composta por duas parcelas:
e . - Para que
esteja definida precisamos de ; para derivar, também é importante (não podemos dividir por zero mais adiante). - Não há necessidade de outras informações; vamos derivar termo a termo usando regras de derivação.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
Regra da derivada do logaritmo composto:
onde
é a função interna. Aqui
.
Regra do produto/chain simples para potências:
ou seja, para
temos
porque
.
Derivadas básicas de funções trigonométricas:
Também usaremos que constante fator pode sair da derivada:
Passo 3
Derivando a primeira parcela
com a regra do logaritmo composto:
Definimos
. Então
Como
, obtemos
Aqui expliquei:
é a derivada da função interna
; dividimos por
conforme a fórmula do logaritmo.
Passo 4
Derivando a segunda parcela
:
Aplicamos a constante
fora da derivada e a regra da cadeia/potência para
:
Logo
Expliquei: o
vem da derivada de
e
.
Passo 5
Agora somamos as derivadas das duas parcelas (derivada da soma é soma das derivadas):
Podemos deixar a resposta nessa forma ou usar a identidade
para escrever uma forma alternativa: