Encontre os limites ou demonstre que não existe (Sem usar a regra de L’Hôspital)
\lim _{x \rightarrow 0} x^{4} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{x\to0} x^{4}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Como não podemos usar a regra de L’Hôpital, vamos recorrer ao teorema do confronto, aproveitando que \cos é limitada.

Passo 2

Sabemos que
-1 \,\le\, \cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,\le\, 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^4 (que é sempre não negativo), obtemos
-\,x^{4} \,\le\, x^{4}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,\le\, x^{4}.

Passo 3

Calculamos os limites das funções extremas:
\lim_{x\to0}(-x^{4}) = 0, \qquad \lim_{x\to0}x^{4} = 0.
Pelo teorema do confronto, segue que
\lim_{x\to0} x^{4}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

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