Determine todos os pontos onde a reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1 é horizontal. Gabarito: x=1, x=\frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos do gráfico de f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1 onde a reta tangente é horizontal. Isso significa encontrar x tais que a derivada f'(x) seja zero. Vamos usar regra do poder para derivar e depois resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Aplicando a regra do poder em cada termo de f(x)=x^{3}-x^{2}-x+1, obtemos
f'(x)=3x^{2}-2x-1.

Passo 3

A reta tangente é horizontal quando f'(x)=0. Então resolvemos
3x^{2}-2x-1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, com a=3, b=-2 e c=-1, temos
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{2\pm4}{6}.

Passo 4

Isso dá duas soluções:
x=\frac{2+4}{6}=1 \quad\text{e}\quad x=\frac{2-4}{6}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Para achar os pontos completos, substituímos essas abscissas em f(x):
Para x=1:
f(1)=1^{3}-1^{2}-1+1=0,
logo o ponto é \bigl(1,0\bigr).
Para x=-\tfrac{1}{3}:
f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{3} -\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} -\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) +1 =-\tfrac{1}{27}-\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{3}+1 =\tfrac{32}{27},
logo o ponto é \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{32}{27}\bigr).

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são
(1,0) \quad\text{e}\quad \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{32}{27}\bigr).

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