Encontre os limites nos exercícios a seguir. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x \sin y}{x^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (1,0) da função
f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}.
Informações dadas:
A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}.
O ponto de interesse é (x,y)\to(1,0).
A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x\sin y}{x^{2}+1}?
Passo 2
Idéia direta pela continuidade (argumento intuitivo e simples).
A função x\mapsto x é contínua em qualquer ponto.
A função y\mapsto \sin y é contínua em qualquer ponto.
A função x\mapsto x^{2}+1 é contínua em qualquer ponto e, além disso, tem valor x^{2}+1\ge 1 para todo x, logo nunca é zero.
Produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuos. Assim, a função
f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}
é contínua em (1,0). Para uma função contínua, o limite no ponto é o próprio valor da função no ponto. Portanto basta calcular f(1,0):
Agora, como (x,y)\to(1,0) temos |x|\to 1 e |y|\to 0, então o produto |x|\,|y|\to 1\cdot 0=0. Como a função cujo módulo está à esquerda é não negativa e está sempre menor ou igual a uma função que tende a 0, pela desigualdade do confronto (squeeze) concluímos que
Prova \varepsilon-\delta curta (formalização):
Seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\min\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{2\varepsilon}{3}\right). Se \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<\delta então |x-1|<\tfrac{1}{2} e portanto |x|<\tfrac{3}{2}. Usando as desigualdades do passo anterior,
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com a propriedade desejada, logo o limite é 0.
Passo 5
Resumo e incentivo: vimos três maneiras compatíveis de chegar ao mesmo resultado — continuidade, desigualdade do confronto e prova \varepsilon-\delta. Tudo aponta para o mesmo valor do limite, que é 0. Vai dar certo na prova — respira, você já entendeu o raciocínio!