Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x \sin y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (1,0) da função
f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(1,0).
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x\sin y}{x^{2}+1}?

Passo 2

Idéia direta pela continuidade (argumento intuitivo e simples).
  • A função x\mapsto x é contínua em qualquer ponto.
  • A função y\mapsto \sin y é contínua em qualquer ponto.
  • A função x\mapsto x^{2}+1 é contínua em qualquer ponto e, além disso, tem valor x^{2}+1\ge 1 para todo x, logo nunca é zero.
    Produtos e quocientes (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuos. Assim, a função
f(x,y)=\frac{x\sin y}{x^{2}+1}
é contínua em (1,0). Para uma função contínua, o limite no ponto é o próprio valor da função no ponto. Portanto basta calcular f(1,0):
f(1,0)=\frac{1\cdot\sin 0}{1^{2}+1}=\frac{0}{2}=0.

Passo 3

Argumento alternativo (desigualdade / squeeze) — útil para entender sem usar diretamente o teorema da continuidade.
  • Sabemos que, para todo y, vale |\sin y|\le |y|.
  • Também x^{2}+1\ge 1 para todo x.
    Então, para todo (x,y),
\left|\frac{x\sin y}{x^{2}+1}\right| \le \frac{|x|\,|\sin y|}{x^{2}+1} \le |x|\,|\sin y| \le |x|\,|y|.
Agora, como (x,y)\to(1,0) temos |x|\to 1 e |y|\to 0, então o produto |x|\,|y|\to 1\cdot 0=0. Como a função cujo módulo está à esquerda é não negativa e está sempre menor ou igual a uma função que tende a 0, pela desigualdade do confronto (squeeze) concluímos que
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\left|\frac{x\sin y}{x^{2}+1}\right|=0,
o que implica
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{x\sin y}{x^{2}+1}=0.

Passo 4

Prova \varepsilon- \delta curta (formalização):
Seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\min\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{2\varepsilon}{3}\right). Se \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}<\delta então |x-1|<\tfrac{1}{2} e portanto |x|<\tfrac{3}{2}. Usando as desigualdades do passo anterior,
\left|\frac{x\sin y}{x^{2}+1}\right|\le |x|\,|\sin y|\le \tfrac{3}{2}|y|\le \tfrac{3}{2}\delta\le \varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com a propriedade desejada, logo o limite é 0.

Passo 5

Resumo e incentivo: vimos três maneiras compatíveis de chegar ao mesmo resultado — continuidade, desigualdade do confronto e prova \varepsilon- \delta. Tudo aponta para o mesmo valor do limite, que é 0. Vai dar certo na prova — respira, você já entendeu o raciocínio!

Resposta

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