Encontre os limites nos exercícios a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações imediatas retiradas do enunciado:
- A função é a razão entre
(numerador) e (denominador). - Substituindo diretamente o ponto
temos: - Portanto a forma é algo como
: sinal de possível divergência, é preciso analisar com mais cuidado — a resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o denominador para simplificar a expressão. Observe o denominador:
Agrupando termos com
e sem
:
Fatorando
nos primeiros dois termos e
nos últimos dois, ou melhor ainda extraindo
e
, nota-se:
Fatorando
em evidência:
E
. Logo, o denominador é
Passo 3
Com essa fatoração a expressão original (para
) fica
Explicação didática de por que podemos fazer isso: ao estudar limites, podemos simplificar uma função dividindo por um fator comum desde que esse fator não seja zero nas proximidades do ponto de interesse. Aqui, no ponto
temos
, ou seja, em algum pequeno vizinhança de
teremos
. Portanto, próximo de
(exceto nos pontos com
, que estão longe do ponto em questão), a função coincide com a função simplificada
que, note, depende só de
. Assim o limite em duas variáveis reduz-se a estudar
Como a expressão não depende de
, para qualquer caminho em que
os valores da função são determinados apenas por
. Então basta analisar o comportamento de
quando
.
Passo 4
Estudo do limite unidimensional
.
Primeiro observe que
quando
. O sinal do produto
perto de
determina se a função explode para
ou
.
-
Para
pequeno e positivo ( ): tem-se , então (produto negativo de pequena magnitude). Assim -
Para
pequeno e negativo ( ): tem-se e , então (produto positivo de pequena magnitude). Assim
Portanto os limites laterais em
não coincidem: o limite pela direita é
e pela esquerda é
. Em particular não existe um único valor finito nem um único valor infinito para o limite quando
.
Passo 5
Conclusão lógica para o limite em duas variáveis: como a função simplificada depende apenas de
e apresenta comportamento diferente ao aproximar
de
pela direita e pela esquerda, o limite
não existe (a função diverge e não tem um único infinito limite). No exame, os passos essenciais seriam: fatorar o denominador, cancelar o fator
(válido perto de
), reduzir a uma função de
e verificar os limites unilaterais em
.
Resposta
Não existe.