Encontre os limites nos exercícios a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,4)} \frac{y+4}{x^{2} y-x y+4 x^{2}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,4)} \frac{y+4}{x^{2}y-xy+4x^{2}-4x}.
Informações imediatas retiradas do enunciado:
  • A função é a razão entre y+4 (numerador) e x^{2}y-xy+4x^{2}-4x (denominador).
  • Substituindo diretamente o ponto (x,y)=(0,4) temos: \text{numerador}\to 4+4=8, \qquad \text{denominador}\to 0.
  • Portanto a forma é algo como \dfrac{8}{0}: sinal de possível divergência, é preciso analisar com mais cuidado — a resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o denominador para simplificar a expressão. Observe o denominador:
x^{2}y-xy+4x^{2}-4x.
Agrupando termos com y e sem y:
x^{2}y-xy+4x^{2}-4x = (x^{2}y-xy) + (4x^{2}-4x).
Fatorando y nos primeiros dois termos e 4 nos últimos dois, ou melhor ainda extraindo x e y+4, nota-se:
x^{2}y-xy+4x^{2}-4x = x^{2}(y+4) - x(y+4).
Fatorando (y+4) em evidência:
x^{2}(y+4) - x(y+4) = (y+4)\bigl(x^{2}-x\bigr).
E x^{2}-x = x(x-1). Logo, o denominador é
x^{2}y-xy+4x^{2}-4x = (y+4)\,x\,(x-1).

Passo 3

Com essa fatoração a expressão original (para y\neq -4) fica
\frac{y+4}{(y+4)\,x\,(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)}.
Explicação didática de por que podemos fazer isso: ao estudar limites, podemos simplificar uma função dividindo por um fator comum desde que esse fator não seja zero nas proximidades do ponto de interesse. Aqui, no ponto (0,4) temos y+4\to 8, ou seja, em algum pequeno vizinhança de (0,4) teremos y+4\neq 0. Portanto, próximo de (0,4) (exceto nos pontos com y=-4, que estão longe do ponto em questão), a função coincide com a função simplificada
g(x,y)=\frac{1}{x(x-1)},
que, note, depende só de x. Assim o limite em duas variáveis reduz-se a estudar
\lim_{(x,y)\to(0,4)} \frac{1}{x(x-1)}.
Como a expressão não depende de y, para qualquer caminho em que (x,y)\to(0,4) os valores da função são determinados apenas por x\to 0. Então basta analisar o comportamento de
\frac{1}{x(x-1)}
quando x\to 0.

Passo 4

Estudo do limite unidimensional \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x(x-1)}.
Primeiro observe que x(x-1)\to 0 quando x\to 0. O sinal do produto x(x-1) perto de 0 determina se a função explode para +\infty ou -\infty.
  • Para x pequeno e positivo ( 0<x\ll1): tem-se x-1\approx -1, então x(x-1)\approx -x<0 (produto negativo de pequena magnitude). Assim
    \frac{1}{x(x-1)} \to -\infty \quad\text{quando } x\to 0^+.
  • Para x pequeno e negativo ( -\varepsilon<x<0): tem-se x-1\approx -1 e x<0, então x(x-1)\approx -x>0 (produto positivo de pequena magnitude). Assim
    \frac{1}{x(x-1)} \to +\infty \quad\text{quando } x\to 0^-.
Portanto os limites laterais em x não coincidem: o limite pela direita é -\infty e pela esquerda é +\infty. Em particular não existe um único valor finito nem um único valor infinito para o limite quando x\to 0.

Passo 5

Conclusão lógica para o limite em duas variáveis: como a função simplificada depende apenas de x e apresenta comportamento diferente ao aproximar x de 0 pela direita e pela esquerda, o limite \lim_{(x,y)\to(0,4)} não existe (a função diverge e não tem um único infinito limite). No exame, os passos essenciais seriam: fatorar o denominador, cancelar o fator y+4 (válido perto de (0,4)), reduzir a uma função de x e verificar os limites unilaterais em x.

Resposta

Não existe.

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