Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{3}-3 x^{2}+9 x\right)

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 3}\left(x^{3}-3x^{2}+9x\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do limite é o polinômio \;x^{3}-3x^{2}+9x\;.
  • O ponto em que a variável se aproxima é x=3.
    Não há nenhuma outra condição ou complicação no enunciado.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vou usar (explicados de forma prática):
  • Regra básica: limites são lineares e compatíveis com produtos e potências. Em palavras: se os limites das partes existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x),
\lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(f(x)\big)^n=\big(\lim_{x\to a}f(x)\big)^n,
desde que todos os limites das partes existam.
  • Continuidade de polinômios: todo polinômio é contínuo em todo x\in\mathbb{R}. Continuidade em a significa
\lim_{x\to a} P(x)=P(a).
Isto significa que, para polinômios, basta substituir x=a para obter o limite.
Explicação rápida do porquê é seguro substituir: a função identidade x\mapsto x tem \lim_{x\to a} x = a. Aplicando as regras acima para somas, produtos e potências, quaisquer monômios x^n têm limite a^n e combinações lineares (polinômios) herdam isso.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso polinômio, podemos separar o limite termo a termo:
\lim_{x\to 3}\left(x^{3}-3x^{2}+9x\right) = \lim_{x\to 3}x^{3} - 3\lim_{x\to 3}x^{2} + 9\lim_{x\to 3}x.
Agora uso que \lim_{x\to 3}x=3 e que potências seguem a regra de composição de limites:
\lim_{x\to 3}x^{3}=\big(\lim_{x\to 3}x\big)^{3}=3^{3},
\lim_{x\to 3}x^{2}=\big(\lim_{x\to 3}x\big)^{2}=3^{2},
\lim_{x\to 3}x=3.

Passo 4

Calculo os valores numéricos dos termos (contando cada passo para você poder repetir na prova sem calculadora):
3^{3}=27, \qquad 3^{2}=9, \qquad 9\cdot 3=27.
Substituindo na soma original:
\lim_{x\to 3}\left(x^{3}-3x^{2}+9x\right)=27-3\cdot 9+27.
Calculando 3\cdot 9=27 e então
27-27+27=27.

Passo 5

Alternativa curta (estratégia que funciona sempre com polinômios): fatorar ou apenas usar continuidade. Por exemplo, fatorando um pouco:
x^{3}-3x^{2}+9x = x\big(x^{2}-3x+9\big).
Ao substituir x=3 (pois polinômios são contínuos),
x^{2}-3x+9\Big|_{x=3}=9-9+9=9,
então o produto é 3\cdot 9=27. Mesma resposta, outra forma de ver.

Resposta

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