Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede a seguinte coisa: calcular o limite lateral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de interesse é
, e é um limite pela direita (ou seja, se aproxima de por valores maiores que ).
Passo 2
Vamos analisar o comportamento das partes da função separadamente quando
.
Calculemos o limite do numerador:
Ou seja, o numerador tende para o número finito
(não é zero).
Calculemos o limite do denominador visto como produto:
Quando
, tem-se
(positivo e diferente de zero) e
. Mas para a informação do sinal é importante lembrar que estamos vindo pela direita de
, então
para esses
próximos de
.
Passo 3
Analisando o sinal do denominador para
próximos de
pela direita:
-
para todo , então próximo de temos positivo (aproximadamente ). - Para
temos (pequeno e positivo).
Portanto o produtotende para : tende a zero, mantendo sinal positivo.
Passo 4
Agora combinamos as duas informações:
- Numerador tende para um número finito negativo:
. - Denominador tende para
(positivo e muito pequeno).
Quando um numerador tende a uma constante não nula e o denominador tende a zero com sinal conhecido, o quociente tende a infinito em módulo, com o sinal dado pelo sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador. Aqui o numerador é negativo e o denominador é positivo pequeno, logo o quociente tende para
.
Em palavras: à medida que
se aproxima de
por valores maiores, o denominador fica cada vez mais pequeno e positivo, enquanto o numerador fica próximo de
; dividir algo próximo de
por um número positivo muito pequeno dá um número negativo com magnitude muito grande, isto é, vai para
.
Passo 5
Para tornar intuitivo, veja alguns valores numéricos (apenas para confirmar o sinal e a tendência):
Os valores ficam cada vez mais negativos (em magnitude crescente), confirmando que a função diverge para
quando
.