Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}\

Passo 1

O enunciado pede a seguinte coisa: calcular o limite lateral
\lim_{x\to -2^{+}} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
  • O ponto de interesse é x=-2, e é um limite pela direita (ou seja, x se aproxima de -2 por valores maiores que -2).

Passo 2

Vamos analisar o comportamento das partes da função separadamente quando x\to-2^{+}.
Calculemos o limite do numerador:
\lim_{x\to-2^{+}} (x-1) = -2-1 = -3.
Ou seja, o numerador tende para o número finito -3 (não é zero).
Calculemos o limite do denominador visto como produto:
x^{2}(x+2).
Quando x\to-2, tem-se x^{2}\to (-2)^{2}=4 (positivo e diferente de zero) e x+2\to 0. Mas para a informação do sinal é importante lembrar que estamos vindo pela direita de -2, então x+2>0 para esses x próximos de -2.

Passo 3

Analisando o sinal do denominador para x próximos de -2 pela direita:
  • x^{2}>0 para todo x\neq 0, então próximo de -2 temos x^{2} positivo (aproximadamente 4).
  • Para x\to-2^{+} temos x+2\to 0^{+} (pequeno e positivo).
    Portanto o produto x^{2}(x+2) tende para 0^{+}: tende a zero, mantendo sinal positivo.

Passo 4

Agora combinamos as duas informações:
  • Numerador tende para um número finito negativo: -3.
  • Denominador tende para 0^{+} (positivo e muito pequeno).
Quando um numerador tende a uma constante não nula e o denominador tende a zero com sinal conhecido, o quociente tende a infinito em módulo, com o sinal dado pelo sinal do numerador dividido pelo sinal do denominador. Aqui o numerador é negativo e o denominador é positivo pequeno, logo o quociente tende para -\infty.
Em palavras: à medida que x se aproxima de -2 por valores maiores, o denominador fica cada vez mais pequeno e positivo, enquanto o numerador fica próximo de -3; dividir algo próximo de -3 por um número positivo muito pequeno dá um número negativo com magnitude muito grande, isto é, vai para -\infty.

Passo 5

Para tornar intuitivo, veja alguns valores numéricos (apenas para confirmar o sinal e a tendência):
x=-1{,}9 \Rightarrow \frac{x-1}{x^{2}(x+2)} \approx \frac{-2{,}9}{3{,}61\cdot 0{,}1}\approx -8{,}03,
x=-1{,}99 \Rightarrow \frac{x-1}{x^{2}(x+2)} \approx \frac{-2{,}99}{3{,}9601\cdot 0{,}01}\approx -75{,}5.
Os valores ficam cada vez mais negativos (em magnitude crescente), confirmando que a função diverge para -\infty quando x\to-2^{+}.

Resposta

-\infty

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