Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite lateral:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - O ponto onde estamos tomando o limite é
. - A aproximação é pela esquerda, isto é, por valores com
. - Note que o denominador
é zero em , logo a função não está definida em .
Passo 2
O que significa “limite pela esquerda” aqui?
Significa estudar o comportamento de quando
se aproxima de
com valores menores que
(por exemplo
etc.). Em notação, consideramos
com
pequeno e fazemos
.
Significa estudar o comportamento de
Passo 3
Fazendo a substituição
com
e
, calculemos a expressão:
Podemos separar essa fração:
Passo 4
Analise do limite usando a expressão obtida. Para
temos
, logo
Intuição com sinais: quando
aproxima de
pela esquerda, o numerador
fica próximo de
(positivo) e o denominador
é um número negativo com módulo muito pequeno; assim a razão é um número negativo com módulo muito grande — ou seja, tende a
.
Passo 5
Interpretação final: o valor da função não converge para um número real finito quando
. Em termos de limite estendido, dizemos que a função diverge para
. Formalmente, para todo
existe
tal que, se
(isto é,
), então
; isso é a definição de
.