Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite lateral:
\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{x}{x-3}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{x-3}.
  • O ponto onde estamos tomando o limite é x=3.
  • A aproximação é pela esquerda, isto é, por valores com x<3.
  • Note que o denominador x-3 é zero em x=3, logo a função não está definida em x=3.

Passo 2

O que significa “limite pela esquerda” aqui?
Significa estudar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 3 com valores menores que 3 (por exemplo x=2{,}9,\,2{,}99, etc.). Em notação, consideramos x=3-h com h>0 pequeno e fazemos h\to 0^+.

Passo 3

Fazendo a substituição x=3-h com h>0 e h\to 0^+, calculemos a expressão:
\frac{x}{x-3}=\frac{3-h}{(3-h)-3}=\frac{3-h}{-h}=-\frac{3-h}{h}.
Podemos separar essa fração:
-\frac{3-h}{h}=-\left(\frac{3}{h}-1\right)=1-\frac{3}{h}.

Passo 4

Analise do limite usando a expressão obtida. Para h\to 0^+ temos \dfrac{3}{h}\to +\infty, logo
1-\frac{3}{h}\longrightarrow -\infty.
Intuição com sinais: quando x aproxima de 3 pela esquerda, o numerador x fica próximo de 3 (positivo) e o denominador x-3 é um número negativo com módulo muito pequeno; assim a razão é um número negativo com módulo muito grande — ou seja, tende a -\infty.

Passo 5

Interpretação final: o valor da função não converge para um número real finito quando x\to 3^-. Em termos de limite estendido, dizemos que a função diverge para -\infty. Formalmente, para todo M<0 existe \delta>0 tal que, se 0<3-x<\delta (isto é, x\in(3-\delta,3)), então \dfrac{x}{x-3}<M; isso é a definição de \lim_{x\to3^-}\dfrac{x}{x-3}=-\infty.

Resposta

-\infty

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