Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Pergunta: o limite existe? Se não, explicar por quê (indicar comportamento quando
se aproxima de ).
Passo 2
Vamos ver o comportamento das partes da fração quando
.
- O numerador
tende para . - O denominador
tende para , e, por ser quadrado, é sempre não negativo e tende para por valores positivos (exceto exatamente em , onde é ).
Como temos um numerador que tende a um número positivo e um denominador que tende apor valores positivos, a intuição sugere que a fração cresce sem limite — isto é, tende a . A seguir vamos justificar isso de forma rigorosa e didática.
Passo 3
Uma reescrita que ajuda a visualizar o comportamento é fazer a mudança
. Então, quando
temos
e
Comentário didático:
é sempre positivo e tende a
quando
. O termo
pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de
, mas tem ordem de grandeza menor que
quando
é muito pequeno, de modo que o conjunto tende a
. Para formalizar isso, usamos uma desigualdade simples a seguir.
Passo 4
Rigor com desigualdade (prova do limite infinito):
- Para controlar o numerador, note que se
então e assim
Logo, para
vale
- Agora, dado um número
(qualquer grandeza que queiramos ultrapassar), basta escolher tal que . Por exemplo, escolha
Então, para
temos simultaneamente
e
. Pela desigualdade anterior segue
- Isso mostra a definição de limite infinito: para todo
existe tal que, se , então . Portanto a função tende a quando .
Passo 5
Interpretação final e observação prática:
- O limite não existe como um número real finito, porque os valores da função aumentam sem limite quando
se aproxima de . - Em termos informais e muito usado em provas, escreve-se que o limite é
, ou seja, a expressão diverge para .