Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2-x}{(x-1)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 1 da função
\frac{2-x}{(x-1)^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é \dfrac{2-x}{(x-1)^{2}}.
  • O ponto de interesse é x\to1.
  • Pergunta: o limite existe? Se não, explicar por quê (indicar comportamento quando x se aproxima de 1).

Passo 2

Vamos ver o comportamento das partes da fração quando x\to1.
  • O numerador \;2-x\; tende para 2-1=1.
  • O denominador \;(x-1)^{2}\; tende para 0, e, por ser quadrado, é sempre não negativo e tende para 0 por valores positivos (exceto exatamente em x=1, onde é 0).
    Como temos um numerador que tende a um número positivo e um denominador que tende a 0 por valores positivos, a intuição sugere que a fração cresce sem limite — isto é, tende a +\infty. A seguir vamos justificar isso de forma rigorosa e didática.

Passo 3

Uma reescrita que ajuda a visualizar o comportamento é fazer a mudança t=x-1. Então, quando x\to1 temos t\to0 e
\frac{2-x}{(x-1)^{2}}=\frac{1-t}{t^{2}}=\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}.
Comentário didático: \dfrac{1}{t^{2}} é sempre positivo e tende a +\infty quando t\to0. O termo -\dfrac{1}{t} pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de t, mas tem ordem de grandeza menor que \dfrac{1}{t^{2}} quando t é muito pequeno, de modo que o conjunto tende a +\infty. Para formalizar isso, usamos uma desigualdade simples a seguir.

Passo 4

Rigor com desigualdade (prova do limite infinito):
  • Para controlar o numerador, note que se |x-1|<\tfrac{1}{2} então |t|<\tfrac{1}{2} e assim
1-t=2-x > 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo, para 0<|x-1|<\tfrac{1}{2} vale
\frac{2-x}{(x-1)^{2}}>\frac{\tfrac{1}{2}}{(x-1)^{2}}.
  • Agora, dado um número M>0 (qualquer grandeza que queiramos ultrapassar), basta escolher \delta tal que (x-1)^{2}<\dfrac{1}{2M}. Por exemplo, escolha
\delta=\min\!\left(\tfrac{1}{2},\;\frac{1}{\sqrt{2M}}\right).
Então, para 0<|x-1|<\delta temos simultaneamente |x-1|<\tfrac{1}{2} e (x-1)^{2}<\dfrac{1}{2M}. Pela desigualdade anterior segue
\frac{2-x}{(x-1)^{2}}>\frac{\tfrac{1}{2}}{(x-1)^{2}}>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2M}}=M.
  • Isso mostra a definição de limite infinito: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então \dfrac{2-x}{(x-1)^{2}}>M. Portanto a função tende a +\infty quando x\to1.

Passo 5

Interpretação final e observação prática:
  • O limite não existe como um número real finito, porque os valores da função aumentam sem limite quando x se aproxima de 1.
  • Em termos informais e muito usado em provas, escreve-se que o limite é +\infty, ou seja, a expressão diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2-x}{(x-1)^{2}}=+\infty

Exercícios relacionados