Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular
Informações relevantes fornecidas ou óbvias:
- A função secante é definida por
. - Sabemos que
. - Como o cosseno vale zero no ponto considerado, é preciso estudar como
se aproxima de zero quando vem pela esquerda de (isto é, para e ).
Passo 2
Reescrevendo a função de interesse para ver o comportamento:
Se ao aproximar
de
a quantidade
tende a
, então o recíproco
pode divergir (tornar-se muito grande em módulo). O sinal (positivo ou negativo) da divergência depende do sinal de
quando ele se aproxima de zero.
Passo 3
Analisar o sinal de
quando
se aproxima de
pela esquerda. Faça a substituição conveniente: escreva
onde
e
(isso representa
vindo da esquerda). Então
pois
é função par (
).
Passo 4
Conhecimento útil sobre
perto de
: para pequenos
vale
Para
muito pequeno,
é positivo e comporta-se aproximadamente como
(essa é a aproximação de pequeno ângulo:
). Logo, para
ou, alternativa equivalente (linearização/Taylor de primeira ordem),
e para
isso dá
. Em ambos os raciocínios vemos que, chegando pela esquerda,
tende a
vindo de valores negativos.
Passo 5
Agora olhe para
. Como, ao aproximar pela esquerda,
(tende a zero pelo lado negativo), o recíproco tende a menos infinito:
Em palavras: quando o denominador é um número muito pequeno e negativo, o quociente fica muito negativo em módulo, sem limite finito.
Passo 6
Conclusão e interpretação geométrica rápida (para motivar):
tem assíntotas verticais nos pontos onde
, isto é nos pontos
. Ao se aproximar de
pela esquerda, a função vai para
. (Isso confirma o resultado encontrado explicitamente.)