Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \operatorname{sec} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular
\lim_{x\to\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{-}} \operatorname{sec} x.
Informações relevantes fornecidas ou óbvias:
  • A função secante é definida por \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • Sabemos que \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
  • Como o cosseno vale zero no ponto considerado, é preciso estudar como \cos x se aproxima de zero quando x vem pela esquerda de -\dfrac{\pi}{2} (isto é, para x<-\dfrac{\pi}{2} e x\to-\dfrac{\pi}{2}).

Passo 2

Reescrevendo a função de interesse para ver o comportamento:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Se ao aproximar x de -\dfrac{\pi}{2} a quantidade \cos x tende a 0, então o recíproco \dfrac{1}{\cos x} pode divergir (tornar-se muito grande em módulo). O sinal (positivo ou negativo) da divergência depende do sinal de \cos x quando ele se aproxima de zero.

Passo 3

Analisar o sinal de \cos x quando x se aproxima de -\dfrac{\pi}{2} pela esquerda. Faça a substituição conveniente: escreva
x=-\frac{\pi}{2}-\varepsilon,
onde \varepsilon>0 e \varepsilon\to 0^{+} (isso representa x vindo da esquerda). Então
\cos x=\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\varepsilon\right),
pois \cos é função par ( \cos(-t)=\cos t).

Passo 4

Conhecimento útil sobre \cos perto de \tfrac{\pi}{2}: para pequenos \varepsilon>0 vale
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\varepsilon\right)=-\sin\varepsilon.
Para \varepsilon muito pequeno, \sin\varepsilon é positivo e comporta-se aproximadamente como \varepsilon (essa é a aproximação de pequeno ângulo: \sin\varepsilon\approx\varepsilon>0). Logo, para \varepsilon\to0^{+}
\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\varepsilon\right)=-\sin\varepsilon\approx -\varepsilon<0,
ou, alternativa equivalente (linearização/Taylor de primeira ordem),
\cos x \approx \cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos'\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)(x+\tfrac{\pi}{2}) =0+1\cdot(x+\tfrac{\pi}{2})=x+\tfrac{\pi}{2},
e para x=-\tfrac{\pi}{2}-\varepsilon isso dá \cos x\approx -\varepsilon<0. Em ambos os raciocínios vemos que, chegando pela esquerda, \cos x tende a 0 vindo de valores negativos.

Passo 5

Agora olhe para \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Como, ao aproximar pela esquerda, \cos x\to 0^{-} (tende a zero pelo lado negativo), o recíproco tende a menos infinito:
\frac{1}{\cos x}\approx\frac{1}{-\varepsilon}\longrightarrow -\infty\quad(\varepsilon\to0^{+}).
Em palavras: quando o denominador é um número muito pequeno e negativo, o quociente fica muito negativo em módulo, sem limite finito.

Passo 6

Conclusão e interpretação geométrica rápida (para motivar): \operatorname{sec} x tem assíntotas verticais nos pontos onde \cos x=0, isto é nos pontos x=\pm\frac{\pi}{2},\pm\frac{3\pi}{2},\dots. Ao se aproximar de -\dfrac{\pi}{2} pela esquerda, a função vai para -\infty. (Isso confirma o resultado encontrado explicitamente.)

Resposta

-\infty

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