1. Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{9}-1}{x^{5}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{9}-1}{x^{5}-1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do numerador é x^{9}-1.
  • A expressão do denominador é x^{5}-1.
  • Se substituirmos x=1 diretamente obtemos \dfrac{1^{9}-1}{1^{5}-1}=\dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso indica que é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou aplicar alguma técnica como a regra de L’Hôpital) para avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê:
  • Duas abordagens naturais: (A) fatorar usando a identidade da progressão geométrica x^{n}-1=(x-1)(1+x+\dots+x^{n-1}); (B) aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador).
  • Vou usar a fatoração como caminho principal porque é bem elementar, evita derivadas e dá uma simplificação direta e limpa. Em seguida faço uma verificação rápida com L’Hôpital para você ver que dá o mesmo resultado.
Antes de aplicar, explico e demonstro a identidade que vou usar (assim você pode reproduzir na prova).

Passo 3

Prova rápida da identidade usada:
A soma geométrica
1+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}
quando multiplicada por (x-1) telescopa. De fato,
(x-1)\bigl(1+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}\bigr) = x+x^{2}+\dots+x^{n}-\bigl(1+x+\dots+x^{n-1}\bigr) = x^{n}-1.
Portanto vale a identidade
x^{n}-1=(x-1)\bigl(1+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}\bigr),
válida para todo n\in\mathbb{N} e todo x.

Passo 4

Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador:
x^{9}-1=(x-1)\bigl(1+x+x^{2}+\dots+x^{8}\bigr),
x^{5}-1=(x-1)\bigl(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\bigr).
Logo a razão fica
\frac{x^{9}-1}{x^{5}-1} =\frac{(x-1)\bigl(1+x+\dots+x^{8}\bigr)}{(x-1)\bigl(1+x+\dots+x^{4}\bigr)}.

Passo 5

Simplificação e justificativa para cancelar:
  • Para x\neq 1 pode-se cancelar o fator (x-1), obtendo
\frac{x^{9}-1}{x^{5}-1} =\frac{1+x+x^{2}+\dots+x^{8}}{1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}}.
  • Como estamos calculando um limite quando x\to 1, estamos interessados em valores de x próximos de 1 mas diferentes de 1, então o cancelamento é legítimo para a fórmula do limite.
  • As expressões que restaram são polinômios (somas de potências de x), e polinômios são funções contínuas, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x=1.

Passo 6

Avaliação do limite após simplificação:
  • Substituindo x=1 nas somas:
1+1+1+\dots+1 \quad (9\\ \text{termos}) = 9,
1+1+1+1+1 \quad (5\\ \text{termos}) = 5.
  • Portanto
\lim_{x\to 1}\frac{x^{9}-1}{x^{5}-1} =\frac{9}{5}.

Passo 7

Verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (checa alternativa):
  • Como a forma é \dfrac{0}{0}, pode-se aplicar L’Hôpital uma vez:
    derivando numerador e denominador obtemos
\frac{d}{dx}(x^{9}-1)=9x^{8},\qquad \frac{d}{dx}(x^{5}-1)=5x^{4}.
  • Avaliando em x\to 1:
\lim_{x\to 1}\frac{9x^{8}}{5x^{4}}=\frac{9\cdot 1^{8}}{5\cdot 1^{4}}=\frac{9}{5},
mesmo resultado, como esperado.

Resposta

\dfrac{9}{5}

Exercícios relacionados