- Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Se substituirmos
diretamente obtemos , que é uma forma indeterminada. Isso indica que é preciso manipular a expressão (fatorar, simplificar ou aplicar alguma técnica como a regra de L’Hôpital) para avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê:
- Duas abordagens naturais: (A) fatorar usando a identidade da progressão geométrica
; (B) aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador). - Vou usar a fatoração como caminho principal porque é bem elementar, evita derivadas e dá uma simplificação direta e limpa. Em seguida faço uma verificação rápida com L’Hôpital para você ver que dá o mesmo resultado.
Antes de aplicar, explico e demonstro a identidade que vou usar (assim você pode reproduzir na prova).
Passo 3
Prova rápida da identidade usada:
A soma geométrica
A soma geométrica
quando multiplicada por
telescopa. De fato,
Portanto vale a identidade
válida para todo
e todo
.
Passo 4
Aplicando a fatoração ao numerador e ao denominador:
Logo a razão fica
Passo 5
Simplificação e justificativa para cancelar:
- Para
pode-se cancelar o fator , obtendo
- Como estamos calculando um limite quando
, estamos interessados em valores de próximos de mas diferentes de , então o cancelamento é legítimo para a fórmula do limite. - As expressões que restaram são polinômios (somas de potências de
), e polinômios são funções contínuas, então podemos avaliar o limite simplesmente substituindo .
Passo 6
Avaliação do limite após simplificação:
- Substituindo
nas somas:
- Portanto
Passo 7
Verificação rápida usando a regra de L’Hôpital (checa alternativa):
- Como a forma é
, pode-se aplicar L’Hôpital uma vez:
derivando numerador e denominador obtemos
- Avaliando em
:
mesmo resultado, como esperado.