1. Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \sin x e \sin x \to 0 quando x\to 0.
  • O denominador é x^{3} e x^{3}\to 0 quando x\to 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0 ao aproximar x de 0.
    A partir daqui vamos resolver o limite passo a passo.

Passo 2

Relembrando uma ferramenta útil: a regra de L’Hôspital.
  • Teorema (caso relevante): se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis num intervalo (exceto talvez em a), e \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Explicação simples: quando temos 0/0 podemos, em muitos casos, derivar numerador e denominador e estudar o limite da nova razão — às vezes isso resolve a indeterminação.
    Vamos aplicar isso ao nosso caso com f(x)=\sin x e g(x)=x^3.

Passo 3

Calcular as derivadas:
  • f'(x)=(\sin x)'=\cos x.
  • g'(x)=(x^3)'=3x^2.
    Pela regra de L’Hôspital:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{3x^2}.
Agora analisamos o novo limite. Quando x\to 0 temos \cos x\to 1 e 3x^2\to 0. Note que 3x^2>0 para todo x\neq 0, portanto o denominador tende a 0 por valores positivos. Como o numerador tende a 1>0, a razão tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{3x^2}=+\infty,
e portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^3}=+\infty.

Passo 4

Verificação alternativa (expansão em séries / equivalências) para intuição:
  • Para x pequeno vale a expansão de Taylor
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}),
onde o(x^{3}) indica termos que são muito menores que x^{3} quando x\to 0.
Dividindo por x^{3}:
\frac{\sin x}{x^{3}} = \frac{x}{x^{3}} - \frac{x^{3}}{6x^{3}} + \frac{o(x^{3})}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{6} + o(1).
À medida que x\to 0, \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty, então a expressão diverge para +\infty. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôspital. Observação: o termo dominante é 1/x^{2}, sempre positivo para x\neq 0, por isso o limite é +\infty vindo de ambos os lados.

Passo 5

Conclusão final e uma palavra de incentivo: o limite não é um número finito — ele diverge para infinito positivo. Isso pode assustar um pouco, mas a ideia-chave é perceber que \sin x é da ordem de x para x pequeno, e dividir algo da ordem de x por x^{3} dá algo da ordem de 1/x^{2}, que explode ao aproximar 0. Vai dar tudo certo na prova — pratica mais alguns limites assim que fica automático!

Resposta

+\infty

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