- Encontre os limites a seguir da forma mais simples possível. Se for o caso, use a regra de L’Hôspital.
$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
e quando . - O denominador é
e quando . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
ao aproximar de .
A partir daqui vamos resolver o limite passo a passo.
Passo 2
Relembrando uma ferramenta útil: a regra de L’Hôspital.
- Teorema (caso relevante): se
e , e e são diferenciáveis num intervalo (exceto talvez em ), e existe (ou é ), então
- Explicação simples: quando temos
podemos, em muitos casos, derivar numerador e denominador e estudar o limite da nova razão — às vezes isso resolve a indeterminação.
Vamos aplicar isso ao nosso caso come .
Passo 3
Calcular as derivadas:
-
. -
.
Pela regra de L’Hôspital:
Agora analisamos o novo limite. Quando
temos
e
. Note que
para todo
, portanto o denominador tende a
por valores positivos. Como o numerador tende a
, a razão tende a
. Logo
e portanto
Passo 4
Verificação alternativa (expansão em séries / equivalências) para intuição:
- Para
pequeno vale a expansão de Taylor
onde
indica termos que são muito menores que
quando
.
Dividindo por :
Dividindo por
À medida que
,
, então a expressão diverge para
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôspital. Observação: o termo dominante é
, sempre positivo para
, por isso o limite é
vindo de ambos os lados.
Passo 5
Conclusão final e uma palavra de incentivo: o limite não é um número finito — ele diverge para infinito positivo. Isso pode assustar um pouco, mas a ideia-chave é perceber que
é da ordem de
para
pequeno, e dividir algo da ordem de
por
dá algo da ordem de
, que explode ao aproximar
. Vai dar tudo certo na prova — pratica mais alguns limites assim que fica automático!